91. Теория систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

3. Воеводин В. В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

4. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А. В., Демидовича Б. П.. М.: Наука, 1981.

5. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

6. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

1. Теорема Кронекера-Капелли. Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ)

(1)

С коэффициентами и свободными членами из поля Р. Пусть

Матрица и расширенная матрица системы (1).

Столбцы матриц А и В являются векторами в пространстве матриц Рn´1 :

A1 = , A2 = , ..., AN = , B = .

Используя эти обозначения и определения операций над матрицами получим, что

B =

= X1A1 + X2A2 + ...+ XnAN.

Тогда систему линейных уравнений (1) можно записать в следующей векторной форме:

X1A1 + X2A2 + ...+ XnAN = B . (2)

Легко показать, что система (1) равносильна векторному уравнению (2).

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли). (СЛУ) (1) разрешима тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы. При этом, если RangA = N, то система (1) имеет единственное решение, если rangA < n, то система (1) имеет бесконечно много решений, если поле Р.

Л. Кронекер (1823-1891) - немецкий математик, А. Капелли (1855-1910) - итальянский математик.

Доказательство. Столбцы матриц А и В являются векторами в пространстве матриц Рn´1 :

A1 = , A2 = , ..., AN = , B = .

По следствию из теоремы о ранге матрицы ранги матриц А и В равны соответственно рангам систем векторов

A1, A2, ..., AN, (3)

A1, A2, ..., AN, B . (4)

1. Необходимость. Пусть система (1) разрешима и (B1, B2, ...,BN) ее решение. Тогда справедлива система верных числовых равенств

Отсюда следует векторное равенство:

B =

= B1A1 + B2A2 + ...+ BNAN.

Тогда каждый вектор системы (4) линейная комбинация векторов системы (3). Действительно, это следует из указанного выше равенства и из равенств

AI = 0×A1 + ... + 0×AI-1 + 1× aI + 0×AI+1 + ... + 0×AN , I =1, 2, ...,N .

Из равенств

AI = 0×A1 + ... + 0×AI-1 + 1× aI + 0×AI+1 + ... + 0×AN + 0×B , I =1, 2, ...,N,

Получаем, что каждый вектор системы (3) линейная комбинация векторов системы (4). Таким образом системы векторов (3) и (4) эквивалентны и поэтому их ранги равны. Следовательно, rangA = rang(3) = rang(4) = rangB.

2. Достаточность. Пусть rangA = rangB = R. Тогда ранги систем векторов (3) и (4) равны R . По определению ранга система векторов (3) обладает базисом, состоящим из R векторов. Можно предположить, что базис образуют первые R векторов

A1, A2, ..., AR , (5)

В противном случае вектора и соответственно переменные можно перенумеровать. Тогда по теореме о базисах система (5) является базисом и системы векторов (4). Но тогда вектор B системы векторов (4) линейно выражается через систему (5):

B = B1A1 + B2A2 + ...+ BRAR = B1A1 + B2A2 + ...+ BRAR + 0×A2 + ...+ 0×AR.

Тогда набор чисел (B1, B2, ..., BR, 0, ..., 0) решение системы (1) и она разрешима.

Пусть rangA = N, т. е. R = N. Тогда система векторов (3) является базисом системы векторов (4) и вектор B единственным образом линейно выражается через вектора системы (3). Тогда векторное уравнение (2) и поэтому система (1) имеет единственное решение.

Пусть rangA < N, т. е. R < N . Так как система векторов (5) базис системы (4), то каждый из векторов B, Ar+1, ...,AN линейная комбинация векторов системы (5). Тогда для любых чисел BR+1, ... , BN € P вектор B - BR+1Ar+1 - ...- BNAN линейная комбинация векторов системы (5):

B - BR+1Ar+1 - ...- BNAN = B1A1 + B2A2 + ...+ BRAR.

Отсюда B1A1 + B2A2 + ...+ BRAR + BR+1Ar+1 + ...+ BNAN = B и набор чисел (B1, B2, ..., BR, BR+1, ..., BN) решение системы (1). Если поле P Бесконечно, то набор чисел BR+1, ... , BN можно выбрать бесконечным числом способов и поэтому система (1) имеет бесконечно много решений. Если поле P Содержит Q элементов, то набор чисел BR+1, ... , BN можно выбрать Qn-r Способами и система (1) имеет Qn-r Решений.

< Предыдущая		Следующая >