85. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве прямя A, в некоторой аффинной системе координат задана параметрическими уравнениями:

(1)

Плоскость a задана общим уравнением:

A: Ax + By + Cz + D = 0. (2)

Исследуем взаимное расположение прямой и плоскости. Для этого подставим из уравнений (1) в уравнения (2) и получим

A(X0 + Mt) + B(Y0 + Kt) + C(Z0 + Lt) + D = 0,

(Am + Bk + Cl)T + AX0 + By0 + Cz0 + D = 0. (3)

Отсюда и из теоремы о линейном уравнении получаем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть дана прямая A и плоскость A, заданные соответственно уравнениями (1) И (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Прямая и плоскость пересекаются тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl ≠ 0; (4)

2) Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, AX0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0; (5)

5) Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда

Am + Bk + Cl = 0, AX0 + By0 + Cz0 + D = 0. (6)

Пусть в пространстве прямя A, в некоторой прямоугольной системе координат задана каноническими уравнениями:

А:

, (7)

А плоскость a задана общим уравнением:

A: Ax + By + Cz + D = 0. (8)

Определение 1. Углом, между прямой А И плоскостью a, Которые пересекаются, называется угол между прямой а и ее проекцией на плоскость A. Если прямая а и плоскость A параллельны, то угол считается равным нулю.

Рассмотрим угол b между направляющим вектором S = (M,K,L) - прямой А и нормальным вектором N = (A,B,C) плоскости a. Тогда угол j между прямой А и плоскостью a равен j=p ¤ 2 - b. Тогда из формулы для скалярного произведения векторов находим, что

Sin j = cos b =.

Отсюда находим, что

. (9)

Прямая А и плоскость a перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор S = (M,K,L) прямой A коллиниарен нормальному вектору N = (A,B,C) плоскости a. Последнее равносильно условию. Получаем Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Am + Bk + Cl = 0. (10)

< Предыдущая		Следующая >