62. Расстояние от точки до прямой

Определение 2. Расстоянием от точки M0 до прямой A называется длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на прямую A.

Вычислим расстояние от точки M0(X0,Y0) до прямой A, заданной в прямоугольной системе координат общим уравнением

A: Ax + By + C = 0, A2 + B2 ≠ 0.

Отпустим из точки M0(X0,Y0) перпендикуляр M0M1 на прямой A, M1 - основание перпендикуляра. Рассмотрим вектор

И нормальный вектор N = (A,B) прямой. Так как векторы И N ортогональны одной и той же прямой, то он коллинеарны. Вычислим их скалярное произведение двумя способами.

С одной стороны, так как угол j между векторами и N равен 0 или 1800, по определению скалярного произведения имеем × N = |N|× Cos j = ± |N| = ±D|N|, где D расстояние от точки M0 до прямой A.

С дугой стороны,

× N = A(X0 - X1) + B(Y0 - Y1) =

= Ax0 + By0 + (-Ax1 - B Y1)

Так как точка M1€ a, то-Ax1 - B Y1 = C1. Отсюда

±D|N| == Ax0 + By0 +C.

Таким образом, находим формулу расстояния от точки до прямой

. (13)

Пример 1. Найти уравнения биссектрис, образованных двумя пересекающимися прямыми:

A: A1X + B1Y + C1 = 0,

B: A2X + B2Y + C2 = 0,

A12 + B12 ≠ 0, A22 + B22 ≠ 0.

Так как биссектриса является геометрическим местом точек равноудаленных от прямых, образующих угол, то по формулы (1) получаем уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых:

. (14)

< Предыдущая		Следующая >