60. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

1. Условие параллельности двух прямыхй.

Теорема 1. Пусть A И B Две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

A: A1X + B1Y + C1 = 0,

B: A2X + B2Y + C2 = 0,

A12 + B12 ≠ 0, A22 + B22 ≠ 0;

.

Тогда справедливы утверждения:

1) Прямые A И B Пересекаются тогда и только тогда, когда

Rang A = rang A¢ = 2;

2) Прямые A И B Параллельны тогда и только тогда, когда

Rang A = 1, rang A¢ = 2;

3) Прямые A И B Совпадают тогда и только тогда, когда

Rang A = Rang A¢ = 1.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):

.

Так как матрица А ненулевая, то rang A ³ 1. Имеем rang A¢ = rang A¢¢, rang A £ rang A¢ £ 2. Тогда возможны следующие случаи:

1) rang A = rang A¢ = 2. По теореме Кронекера-Капелли система (1) имеет единственное решение, и Прямые A И B пересекаются.

2) rang A = 1, rang A¢ = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и прямые A и B Не имеют общих точек, а поэтому Параллельны.

3) rang A = rang A¢ = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и прямые A и B Совпадают.

Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть прямые A и B пересекаются. Докажем, что rang A = rang A¢ = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A¢ = 2 или rang A = rang A¢ = 1. Отсюда, по доказанному выше, A || B или A = B. Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A¢ = 2. Аналогично рассматриваются случаи A || b или A = B.

Нетрудно проверить, что ранг двустрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Следствие. 1) Прямые A И B Пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых непропорциональны:

. (2)

2) Прямые A И B Параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:

. (3)

3) Прямые A И B Совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях прямых пропорциональны и пропорциональны свободным членам:

. (4)

Замечания 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае Условие параллельности прямые может быть записано в виде:

. (5)

2. Условие (5) параллельности прямых, заданных уравнениями

Y = K1X + B1, Y = K2X + B2

с угловым коэффициентом, может быть записано в виде

K1 = K2. (6)

Упражнение 1. Докажите следствие теоремы 1 в случае прямоугольной системы координат, используя то, что нормальные вектора N1, N2 прямые A и B могут быть заданы в виде: N1 = (A1,B1), N2 = (A2,B2) (выполнить чертеж).

< Предыдущая		Следующая >