Функции матричного аргумента

Задание 1. Задана матрица . Найти .

Решение. Если матрица диагональная, т. е. может быть записана в виде , то значение функции матричного аргумента по определению вычисляется следующим образом:

.

Пусть квадратная матрица -го порядка с помощью некоторого преобразования подобия приведена к диагональному виду , т. е. , где − собственные значения матрицы , − матрица, составленная из собственных векторов, соответствующих собственным значениям. При этом , тогда по определению

При условии, что входят в область определения функции .

Составим характеристическое уравнение:

,

Его корни , . Найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

При : , откуда , тогда .

При : , т. е. , тогда .

Следовательно, , , тогда ,

.

Ответ: .

Задание 2. Найти матрицу , если .

Решение. Найдём собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы .

Характеристическое уравнение имеет корни , .

При : , тогда , т. е. .

При : , , значит, .

Следовательно, , . Так как , то по определению , т. е.

.

Легко проверить, что . Действительно,

.

Ответ: .

Задание 3. Найти матрицу , если .

Решение. Решая характеристическое уравнение , получим , . Найдём собственные векторы.

При : , тогда , .

При : , тогда , .

Следовательно, , , , тогда матрица , т. е. всего четыре матрицы.

.

Аналогично,

,

,

.

Проверкой можно убедиться в правильности выполненных действий. Так как , а , то достаточно проверить, что и что . Действительно,

и .

Ответ: , , , .

Задание 4. Найти матрицу , если .

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

, т. е. , значит, , .

Найдём собственные векторы матрицы .

При : , , .

При : , , т. е. .

Составим матрицу , тогда . Так как , то

.

Замечание. Очевидно, , так как . Легко убедиться в том, что . Действительно,

.

Ответ: .

Задание 5. Найти , если . Показать, что .

Решение. Найдём собственные значения матрицы:

,

Значит, , , .

Найдём собственные векторы матрицы .

При : , тогда ;

При : , и ;

При: , и .

Следовательно,

, .

Так как , то

.

Очевидно, , так как .

,

Значит, .

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >