2.2.2. Дисперсия случайной величины

Из определения математического ожидания следует, что оно определяет среднее значение случайной величины. Дисперсия характеризует среднюю величину отклонения значений случайной величины от математического ожидания.

Пусть x обозначает дискретную или абсолютно непрерывную случайную величину.

Определение. Моментом второго порядка случайной величины x называется математическое ожидание квадрата этой случайной величины, т. е. число M(x2).

Пусть в формулах (2.18) и (2.19) функция G(X)=X2. Тогда для моментов второго порядка случайной величины x имеют место формулы

, (2.21)

. (2.22)

Величина x-M(x) определяет отклонение случайной величины x От математического ожидания M(x).

Определение. Дисперсией случайной величины x называется момент второго порядка случайной величины (x - M(x)). Дисперсию обозначают D(x). Таким образом, дисперсия случайной величины x определяется формулой

D(x)=M[(x - M(x))2] . (2.23)

Стандартным или средним квадратическим отклонением называют величину, равную квадратному корню из дисперсии и обозначают : =.

Из равенств (2.18), (2.19) для моментов второго порядка следуют формулы для вычисления дисперсии дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин соответственно

(2.24)

(2.25)

Дисперсия не существует, если ряд (2.24) или несобственный интеграл (2.25) расходятся.

Свойства дисперсии

1. Для любой случайной величины x выполняется неравенство D(x) ≥ 0.

2. При умножении случайной величины x на постоянное число С дисперсия умножается на квадрат этого числа, т. е. справедливо равенство

D(CX)=C2D(x).

3. Справедлива следующая формула для вычисления дисперсии

D(x)=M(x2)- M2(x) , (2.26)

То есть дисперсия случайной величины равна разности второго момента этой величины и квадрата математического ожидания этой же величины.

4. Если случайные величины x и h независимы, дисперсия их алгебраической суммы равна сумме дисперсий, т. е.

D(x+h)=D(x)+D(h). (2.27)

5. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

Пусть x обозначает Дискретную случайную величину с рядом распределения

Xi X1 X2 , …, Xn…

Pi p1 P2 , …, PN… .

В этом случае согласно свойству 3 дисперсия вычисляется по формуле

D(X)=. (2.28)