2.2.2. Дисперсия случайной величины |
![]() |
Из определения математического ожидания следует, что оно определяет среднее значение случайной величины. Дисперсия характеризует среднюю величину отклонения значений случайной величины от математического ожидания. Пусть x обозначает дискретную или абсолютно непрерывную случайную величину. Определение. Моментом второго порядка случайной величины x называется математическое ожидание квадрата этой случайной величины, т. е. число M(x2). Пусть в формулах (2.18) и (2.19) функция G(X)=X2. Тогда для моментов второго порядка случайной величины x имеют место формулы
Величина x-M(x) определяет отклонение случайной величины x От математического ожидания M(x). Определение. Дисперсией случайной величины x называется момент второго порядка случайной величины (x - M(x)). Дисперсию обозначают D(x). Таким образом, дисперсия случайной величины x определяется формулой D(x)=M[(x - M(x))2] . (2.23) Стандартным или средним квадратическим отклонением называют величину, равную квадратному корню из дисперсии и обозначают Из равенств (2.18), (2.19) для моментов второго порядка следуют формулы для вычисления дисперсии дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин соответственно
Дисперсия не существует, если ряд (2.24) или несобственный интеграл (2.25) расходятся. Свойства дисперсии 1. Для любой случайной величины x выполняется неравенство D(x) ≥ 0. 2. При умножении случайной величины x на постоянное число С дисперсия умножается на квадрат этого числа, т. е. справедливо равенство D(CX)=C2D(x). 3. Справедлива следующая формула для вычисления дисперсии D(x)=M(x2)- M2(x) , (2.26) То есть дисперсия случайной величины равна разности второго момента этой величины и квадрата математического ожидания этой же величины. 4. Если случайные величины x и h независимы, дисперсия их алгебраической суммы равна сумме дисперсий, т. е. D(x+h)=D(x)+D(h). (2.27) 5. Дисперсия постоянной величины С равна нулю. Пусть x обозначает Дискретную случайную величину с рядом распределения
Pi p1 P2 , …, PN… . В этом случае согласно свойству 3 дисперсия вычисляется по формуле D(X)=
|