Вариант № 27

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм.

Задача 2

Пусть , т. е. ; след., вектор .

Задача 3

Рассм. векторы ;

;

.

Задача 4

Рассм. вектор ; пусть искомый вектор ;

;

Решим с – му ур – й (2), (3) и опр – м : ; .

Задача 5

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ; ;

Величину Вычислим из условия: ; ; ; по условию , след. , и, след., ;

; Вычислим ; .

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

; ; .

Задача 7

Рассм. вектор

;

;

По условию задачи .

Задача 8

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.) ;

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

;

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ; ; ; ;

След., возможные положения искомой т. : ; .

Задача 9

Две стороны параллелограмма лежат на прямых . Определить его высоту.

Рассм. И рассм. вектор ;

Рассм. один из норм. в-ров прямой :

И рассм.

Вычислим

Искомая высота параллелограмма .

Задача 10

1) Пусть искомая точка ; по условию задачи

;

Решим с-му ур-й (1), (2) и опр-м координаты :

;

2) рассм. векторы ;

.

Задача 11

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: .

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. векторы

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 12

Составить канонические и параметрические ур-я прямой, проходящей через т.

Параллельно вектору

Пусть - искомая прямая; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей

Через т. параллельно вектору : ;

След. параметрические ур-я прямой имеют вид:

Задача 13

Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно прямой

Запишем канонич. уравнения прямой ;

Направл. векторы прямых: ;

, След. В качестве нормального вектора плоскости

Можно взять вектор ;

Выберем точку ; составим теперь уравнение плоскости как плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 4-го порядка:

А)непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б)разложение по 3-й строке:

2)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы : ,

След., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему уравнений (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

;

;

;

решение с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим решение с–мы ур–й (1) с помощью обратной матрицы :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

транспонируем матрицу и получим «присоединённую» матрицу ;

Разделим все элементы присоединённой матрицы на опр-ль и получим обратную матрицу :

;

Находим теперь вектор-решение: .

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Решение системы в коорд. форме:

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение;

Преобразуем матрицу к диагональному виду и выпишем решение данной системы:

решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

;

;

;

, - пара пересекающихся прямых (прямые пересекаются в точке ) .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

;

;

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - двуполостный гиперболоид.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >