Вариант № 12

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм.

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Задача 4

Рассм. векторы ;;

Вычислим ; ; .

Задача 5

;

; рассм. ; ;

След. при .

Задача 6

1) , где ; ;

; ;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

Рассм. вектор ;

, т. е.

Задача 8

Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное

произведение , след., векторы

не компланарны и, след., точки не лежат в одной плоскости.

Задача 9

Рассмотрим один из направляющих векторов медианы

;

Рассм. И рассм. один из направляющих векторов высоты :

(т. к. );

Определим угол между векторами из равенства: ;

Вычислим

; искомый острый угол между прямыми Равен .

Задача 10

Пусть - вершина ромба, лежащая на пересечении прямых ;

;

Возможны два положения противоположной вершины ромба: (так как длина диагонали равна 12);

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, след., возможные положения центра симметрии ромба суть (середина отрезка ) и (середина отрезка ), а диагонали перпендикулярны прямой , т. е. параллельны оси ; уравнения диагоналей

Координаты вершин определим как координаты точек пересечения прямой с диагоналями :

;

Координаты вершин определим из условия, что т. - середина отрезка , а т. - середина отрезка :

;

Площади ромбов равны:

; ;

Задача имеет два решения.

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор ;

Рассм. направл. вектор прямой ; рассм. норм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ; рассм. произв. т.

И рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; определим какую-либо точку ;

Рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей:

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ;

Рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой :

;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

Т. е.

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и прямой : ;

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам:

Уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 3-му столбцу:

;

2) вычисление определителя 4-го порядка:

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: , , ;

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) Получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу :

, ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим

«присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

3) Решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

, - парабола с вершиной в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ;

Перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - параболический цилиндр.

Задача 26

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >