Вариант № 25

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак сравнения в предельной форме с рядом : . Но ряд расходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при . В данном случае . Следовательно, расходится и ряд с общим членом . Ответ: Ряд расходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл расходится, следовательно, расходится и данный ряд. Ответ: Ряд расходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Так как При любом , то . Но ряд сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и рассматриваемый ряд в соответствии с первым признаком сравнения, причём сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : (старшие степени у многочленов одинаковы). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. , или . Следовательно, ряд сходится, если . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Рассмотрим общий член этого ряда по абсолютной величине: . Ряд с общим членом сходится, тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд . Следовательно, ряд сходится абсолютно, т. е. и при . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который сходится абсолютно по признаку сравнения со сходящимся рядом . Следовательно, исследуемый ряд сходится и при . Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем исходную функцию: . Воспользуемся разложением функций и в ряд Маклорена: , . Оба ряда сходятся при . Следовательно, . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять пять первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то . Кроме того, . Следовательно,

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде . Тогда . Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . В соответствии с начальными условиями и . Получим: . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Вычислим коэффициенты :

. Таким образом, .

Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Функция является нечётной. Разложение функции В ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, . Ответ: .