Вариант № 23

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Так как , то . Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится при и расходится при . В данном случае . Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Очевидно, что . Ряд с общим членом сходится по признаку сравнения в предельной форме со сходящимся рядом . Тогда сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Очевидно, что . Если ряд с общим членом сходится, то сходится и данный ряд по первому признаку сходимости. Применим радикальный признак Коши к ряду :

. Если , то можно применить правило Лопиталя: . При получим: . Здесь применена формула для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Итак, ряд сходится, если , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия). Действительно, , начиная с . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Последний предел вычисляется пол правилу Лопиталя: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд . Этот ряд расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Действительно, . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд (здесь применена формула . Этот ряд расходится, так как степень в знаменателе меньше единицы. При получим числовой ряд (здесь применена формула . Этот ряд сходится по признаку Лейбница. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Тогда (здесь учтено, что ). Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Получим . Тогда

. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять одно слагаемое: . Ответ: (Ответ в методичке дан для интеграла , Что противоречит условию задачи).

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как и , то и . Следовательно,

Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, . Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, . Ответ:

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Если чётное, то и , если нечётное. Положим . Для нечётных получим Вычислим коэффициенты : . Таким образом, .