Вариант контрольной 27

Вариант 27

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям (слишком сложно) с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит, объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

.

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY.

Решение:

Найдем координаты точки пересечения графиков функций:

Объем заданного тела, образованного вращением фигуры есть сумма объемов тел, образованных вращением фигуры, ограниченных графиками функций:

Значит, объем тела:

Рассмотрим отдельно интегралы:

Значит, объем тела:

Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кардиоидой:

Решение:

Задача 13. Найти статический момент относительно оси ОY треугольника, ограниченного прямыми .

Решение:

Статический момент относительно оси ОY:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл расходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:

Подынтегральная функция определена и непрерывна при .

Оценим подынтегральную функцию при :

Следовательно:

Поскольку интеграл расходится, то по признаку сравнения расходится исходный несобственный интеграл.

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга астроиды , расположенной в первом квадранте.

Решение: В первом квадранте, значит:

Задача 13. Вычислить статический момент относительно оси Ох дуги косинусоиды .

Решение:

Статический момент относительно оси Ох:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При .

Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При .

Оценим знаменатель подынтегральной функции при

Следовательно:

Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >