Вариант контрольной 26

Вариант 26

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Данная фигура (эллипс) симметрична относительно оси 0y, при этом точке , а точке .

Поэтому, при :

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение. Имеем тело - цилиндр. Сечение, перпендикулярное оси OZ – окружность: , т. е.

Значит, объем тела:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY.

Решение: Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, есть разность объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций и

Найдем координаты границ тел по оси OX:

Значит, объем тела:

Рассмотрим отдельно:

Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, Ф – сектор круга радиусом R с центральным углом, равным .

Решение: Расположим центр круга в начале координат, а ось симметрии – на оси ОY. Тогда, координаты в параметрическом виде записываются:

Задача 13. Найти моменты инерции прямоугольника со сторонами а и B относительно осей симметрии прямоугольника.

Решение: Расположим ось OХ по оси симметрии прямоугольника, параллельной стороне а, ось Oy по оси симметрии прямоугольника, параллельной стороне B, а центр координат в центре прямоугольника.

Тогда, можно рассмотреть четверть прямоугольника: ,

Моменты инерции прямоугольника со сторонами а и B:

1)относительно оси Ox:

1)относительно оси Oy:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при .

Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и не определена При . Оценим подынтегральную функцию при :

Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >