Вариант 20

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Фигура (эллипс) симметрична относительно оси 0y, при этом точке , а точке . Поэтому:

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение.

Имеем тело (эллипсоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

.

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций .

Ось вращения Oy.

Решение:

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры Ф, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох .

Решение:

Задача 13. Найти статический момент относительно оси Ох дуги четной линии .

Решение:

Статический момент относительно оси Ох:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при . Значит, несобственный интеграл:

Значит, несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл расходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Рассмотрим второй интеграл. Оценка справедлива для всех . Поскольку интегралы И расходятся, то по признаку сравнения расходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >