Вариант контрольной 07

Вариант 7

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:

Решение.

Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке , а точке . Поэтому:

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение:

Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой:

Решение:

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями ,

Решение: Имеем тело (эллиптический параболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:.

Значит, объем тела:

Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:

Площадь эллипса:

.

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.

Решение: Находим точки пересечения графиков

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга логарифмической спирали

Рассмотрим отдельно:

Рассмотрим отдельно:

Задача 13. Найти статический момент относительно оси Ох фигуры, ограниченной линиями: .

Решение: Находим точки пересечения графиков .

Значит фигура ограничена по оси Ох:

Статический момент относительно оси Ох:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при .

Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:

Подынтегральная функция определена и непрерывна при .

Оценим подынтегральную функцию при

Следовательно: Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >