Вариант № 20

Вар.20

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. границей области будет окружность . Область определения данной функции состоит из внутренних точек окружности, включая точки, лежащие на окружности.

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

; ;

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

;

В точке:

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

;

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

;

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

Т.- стационарная точка

и т.- точка максимума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Система имеет два решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

Рассмотрим Окрестность точки:

1)

2)

Следовательно, в т.- нет экстремума

B) X=2, Y=1 т.- стационарная точка

; ;

и

т.- т. максимума

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона ОА:

на стороне ОА нет стационарных точек

;

б) сторона АВ:

на стороне АВ две

стационарные точкиИ

;;

в) сторона ОВ:

на стороне ОВ нет стационарных точек

;

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке окружности

Составим функцию Лагранжа:

;

Система имеет 4 решения:

1) , т. е. т.

2) , т. е. т.

3) , т. е. т.

4) , т. е. т.

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1)

При Функция имеет условный максимум в т. ; и в т. и ;

При Функция имеет условный минимум в т. ; и в т. и ;

2) Рассмотрим т. при. Имеем

;

;

При .

Значит: т.- точка условного максимума

Рассмотрим т. при. Имеем

;

;

При .

Значит: т.- точка условного максимума

Рассмотрим т. при. Имеем

;

;

При .

Значит: т.- точка условного минимума

Рассмотрим т. при. Имеем

;

;

При .

Значит:

Т. - точка условного минимума

< Предыдущая		Следующая >