Вариант № 10

Вар.10

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. границей области определения данной функции будут прямые и .

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

или

;

В точке :

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

;

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

; ;

;

;

;

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Правая часть уравнения тождественно равна левой части, следовательно,

Функция удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

Т.- стационарная точка

и т. - точка максимума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Т.- стационарная точка

; ;

В т. - нет экстремума

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона АС:

т. - стационарная точка на

стороне АС

в) сторона АВС:

на АВС стационарные

точки: и:

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке прямой

Составим функцию Лагранжа:

;

Система имеет 2 решения:

1) , т. е. т.

2) , т. е. т.

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1) При условии

В т. функция имеет условный минимум в

Т. и

В т. функция имеет условный максимум в

Т. и

2) Рассмотрим т.. Имеем

;

;

В т. .

Значит:

т. - точка условного минимума

Рассмотрим т.. Имеем

В т. :

; ;

.

Значит:

т. - точка условного максимума

< Предыдущая		Следующая >