Вариант № 21

Задача 1 Разложить вектор По векторам и.

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти длину вектора , если

Вычислим

.

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы, если

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ;

; величину Вычислим из условия: ;

; ; ;

; вычислим ; .

Задача 4 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями равные острые углы.

рассм. един. напр. вектор оси ;

Опр – м его координаты из условий: ;

Вычислим ; .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам , Образует тупой угол с осью и .

Пусть , причём ( т. к. образует тупой угол с осью OY );

;

;

Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора :

;

Но , след. выбираем , т. е. и ; .

Задача 7 Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках

Рассм. векторы И рассм. смешанное произведение

;

Объём пирамиды равен .

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Найти угол и составить уравнение средней линии, параллельной стороне

1) определим угол из равенства: ;

Рассм. векторы ;

Вычислим ;

;

2)составим уравнение средней линии ; вычислим координаты точек : ;

;

Составим теперь уравнение прямой :

.

Задача 9 В параллелограмме известны уравнения сторон и координаты точки пересечения диагоналей Составить уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки из условия, что т. - середина отрезка :

;

3) составим уравнение прямой как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть - искомая плоскость; рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ; , т. е. .

Задача 11 Составить уравнение медианы треугольника , проведённой из вершины , если

и .

1)Определим координаты точки (середины стороны ):

2)составим уравнение медианы Треугольника Как уравнение прямой, проходящей через точки :

.

Задача 12 Составить канонические уравнения прямой , которая, проходит через точку параллельно плоскости и пересекает прямую .

Рассм. норм. вектор и запишем канонические ур-я прямой ;

Рассм. т. и рассм. векторы ;

Пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; тогда векторы ;

Рассм. вектор ; вектор , след. ;

Векторы , след. векторное произведение можно взять в качестве направл. вектора прямой ;

; выберем ;

Запишем канонические ур-я прямой как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору :

; Параметрические ур-я прямой :

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу C :

Транспонируем м-цу C и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ,

Так как , то по теореме Кронекера-Капелли данная система ур-й несовместна.

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор-столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения : рассм.

- собств. значения (действ. и различные) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм. пусть , тогда вектор

В) рассм. ;

Рассм. пусть , тогда вектор

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .