Задачи с решениями по финансовой математике
Задачи с решениями по финансовой математике
1. Банк начисляет 50 рублей обыкновенного простого процента за использование 3000 рублей в течение 60 дней. Какова норма простого процента такой сделки?
Простой процент вычисляется по формуле:
R = iP * (t/T);
50 =i 3000* (60/365);
I = 365*50 /(3000*60) = 0,1014 (10,14%)
Или:
S = P (1+i); (50+ 3000) = 3000 (1+i); 3050 = 3000 + 3000 i; 50/3000 = i; i = 0,0167 (1,67 %) – за 60 дней (два месяца); за год: i = 0,0167*365/60 = 0,101388 (10,14%);
В случае простого дисконта:
P = S (1 - nd);
Выручка:
P = 100000 (1 – 0,035* 72/365)= 100000 *0,993 = 99300 руб.
Дисконт составит:
100000 – 99300 = 700 руб.
3. При какой годовой ставке сложного процента деньги удваиваются через 12 лет?
Решение:
Sn = P(1+i)n
2 = 1 (1+i)12
(1+i)12 =2
Прологарифмируем полученное выражение:
12 lg (1+i) = lg2; lg2 = 0,3
12 lg (1+i) = 0,3
Lg (1+i) = 0,0025; (1+i) = 1, 06; i = 0,06 (6%)
Можно было не делать таких сложных расчетов. В учебниках по банковскому делу и ценным бумагам прилагаются таблицы, в которых показывается будущая стоимость единицы при определенной годовой ставке через определенный период времени.
Единица удваивается через 12 лет при 6% годовых.
Решение:
Эквивалентная процентная ставка:
J = (1+ i)m/n -1 =(1+ 0,05)10/3 -1;
(1+ i)m = (1+ j)n = (1 + 0,05)10
(1+ j)n = (1 + 0,05)10 = 1,6289
Отсюда:
(1+ i)3 =1,6289; (1+ i) = 1,1768; i = 0,1768 ≈ 17,7%
По ставке сложного процента:
При n = 3 и 5 %
Будущая стоимость единицы: 1,1576
Sn = P(1+i)n
Р = 10000/1,6289 = 6139,11 руб.
Тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 руб.
Решение:
Полагающийся аннуитет:
500 000 = R *[(1+0,015 )4*5 -1] /0,015 * (1 + 0,015);
(1,34685-1)/0,015* 1,015 = 23,47044;
Отсюда: R = 500000/ 23,47044= 21303,4 руб.
Решение:
По формуле обыкновенного общего аннуитета:
S = 500 * ((1+0,04)5*1 -1)/ ((1+ 0,04)1/4 -1 ) = 500* 0,2167/0,00985 = 11 000 руб.
Решение:
Вечная рента – это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного времени
Эквивалентная процентная ставка равна:
J =(1+i)m/p -1 = (1+ 0,03)4/12 -1= 1,0108 -1 = 0,0108
M=4; p =12
А =R/j = 1500/0,0108 = 138888,88 руб.
Решение:
Доход по облигации представляет собой поток периодических платежей в конце каждого года (простой аннуитет) и разовую выплату в конце всего срока действия облигации.
С=N = 100000 руб.,
Ежегодные выплаты: R = 5000 руб., i =0,03
Цена покупки:
Р = 5000* [ 1-(1+0,03)-15]/0,03 + 100000 (1+0,03)-15 = 5000 *(1-1/1,5580)/0,03 + 100000(1/1,0315) = 5000 * 11,9384 + 100000*0,64185 = 123877 руб.
Решение:
Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.
FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля.
Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.
Преобразуем формулу к следующему виду:
(1 + r)n = FV / PV и подставим значения;
1,14n = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log 1,14 20 = 22,86 года.
Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.
При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.
11. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей Нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?
Преобразуем формулу к следующему виду:
R = (FV / PV)1/n - 1 и подставим значения;
R = (30 000 / 10 000)1/5 - 1;
R = 0,24573 или 24,573 %.
Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%
Решение.
Способ 1.
,
K’ = K + I = 4000+44=4044,
где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;
I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
P – процентная ставка, показывающая сколько д. е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);
D – время, выраженное в днях.
360 – число дней в году.
Способ 2.
Время t = 80/360 = 2/9.
K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,
Где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,
T – время, выраженное в годах.
Решение
2×K = I.
2×K = K×9×g/100,
G = 2×100/9 = 22.22
14. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д. е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).
Решение
Таблица - План погашения кредита (амортизационный план)
|
Месяц |
Долг |
Процентный |
Выплата |
Месячный |
|
6000 |
10% |
|||
|
1 |
5000 |
50 |
1000 |
1050 |
|
2 |
4000 |
42 |
1042 |
|
|
3 |
3000 |
33 |
1033 |
|
|
4 |
2000 |
25 |
1025 |
|
|
5 |
1000 |
17 |
1017 |
|
|
6 |
¾ |
8 |
1008 |
|
|
175 |
6000 |
6175 |
Объяснение к таблице
Месячная выплата основного долга составит:
K / m = 6000/6 = 1000.
Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.
Процентные платежи вычисляются по формуле:
,
Где I1 – величина процентного платежа в первом месяце;
P – годовая процентная ставка, %.
Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:
=175.
Общая величина ежемесячных взносов:
=1029.
15. Вексель номинальной стоимостью 20000 д. е. со сроком погашения 03.11.05. учтен 03.08.05 при 8% Годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.
Решение
Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:
=409,
Где Kn – номинальная величина векселя;
D – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;
D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).
Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):
20000 – 409 = 19591.
16. Пусть в банк вложено 20000 д. е. под 10% (D) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет: а) 3 месяца; б) 1 месяц.
Решение
При декурсивном (d)расчете сложных процентов:
Kmn = K×Ip/mmn, Ip/m = 1 + p/(100×m),
Где Kmn – конечная стоимость капитала через N лет при p% годовых и капитализации, проводимой M раз в год.
А) K = 20000×I2.54 = 20000×(1 + 10/(100×4))4 = 20000×1.104 = 22076 д. е.
Б) K = 20000×I10/1212 = 20000×(1 + 10/(100×12))12 = 20000×1.105 = 22094 д. е.
При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:
Kmn = K×Iq/mmn, Iq/m = 100m/(100m - q),
Где q – годовой прцент.
А) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))4 = 20000×1.107 = 22132 д. е.
Б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))12 = 20000×1.106 = 22132 д. е.
Решение
= 6.779%.
Решение
Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:
=1.9427%
Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:
Svmn = u× 
, где rk = 1 + pk/100,
Где v – число вкладов в расчетном периоде,
n - число лет,
m – число капитализаций в год.
Тогда
Rk = 1 + 1.9427/100 = 1.0194
S4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д. е.
Решение
,
U1 = u×I2%4 / III2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д. е.
Snm = 514.93×III2%3×4 + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =
= 9044.41 д. е.
20. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено 200 000 д. е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (D) составляет 8%.
Решение
K0 = Kn×r-n = Kn×II8%20 = Kn×(1 + p/100)-n = 200000×(1 + 8/100)-20 =
= 200000×0.21454 = 42909 д. е.,
Где r = (1 + p/100) – сложный декурсивный коэффициент.
21. Пусть первый вклад в банк составляет 2000 д. е., а каждый последующий уменьшается на 100 д. е. по отношению к предыдущему. Найти величину вкладов в конце 10-го года, если они производятся ежегодно, Постнумерандо, процентная ставка – 4% годовых, капитализация ежегодная.
Решение
22. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов Постнумерандо по 5000 д. е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.
Решение
При ежегодной капитализации:
C0 = a×IVpn = 5000×IV8%10 = 5000×6.71=33550
Решение
Таблица - План погашения займа (амортизационный план)
|
Год |
Долг |
Процентный |
Выплата |
Аннуитет |
|
1 |
20000 |
400 |
1826.53 |
2226.53 |
|
2 |
18173.47 |
363.47 |
1863.06 |
|
|
3 |
16310.41 |
326.21 |
1900.32 |
Пояснения к таблице
Аннуитет вычисляем по формуле:
A = K×Vpn = 20000×V2%10 = 20000×0.1113 = 2226.53 д. е.
Чтобы определить выплату задолженности b1, вычисляем величину процентного платежа I:
I1 = K1×p/100 = 20000×2/100 = 400 д. е.
Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:
B1 = a – I1 = 2226.53 – 400 = 1826.53 д. е.
Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д. е. Остаток долга равен:
K2 = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д. е.
Вычислим процентный платеж на остаток долга:
I2 = 18173.47×2/100 = 363.47 д. е.
Вторая выплата составит:
B2 = a – I2 = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д. е.
Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:
K3 = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д. е.
Далее
I3 = 16310.41×2/100 = 326.21 д. е.
Третья выплата задолженности составит:
B3 = a – I3 = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д. е.
Решение:
Вывод формулы для простой ставки процентов: 
Ответ: простая ставка процентов равна 180%.
25. Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.
Решение:
Размер долга:
;
1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.
(дней)
(руб.)
2) «французская практика»: T=360 дней.
(дней)
(руб.)
3) «германская практика»: T=360 дней.
(дня)
(руб.)
Ответ: размер долга составляет:
- согласно «английской практике»: 17 031,781 руб.;
- согласно «французской практике»: 17 060 руб.;
- согласно «английской практике»: 17 020 руб.
26. Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)
Решение:
T = 1 год = 360 дней PV = 15 000 руб. 
30×3 = 90 дней
Сумма начисленных процентов:
;
Сумма к возврату:
= 19 275 (руб.)
Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.
Решение:
PV = 15 000 руб. N = 2 года J = 16% = 0,16 M = 2
Сумма на счёте клиента к концу срока:
20 407,334 (руб.)
Ответ: сумма на счёте клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.
28. Владелец векселя номинальной стоимости 19 000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% Годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.
Решение:
FV = 19 000 руб. T = 1 год = 360 дней T = 60 дней N = 1 год D = 60% = 0,6
Величина дисконта:
(руб.)
Сумма, полученная владельцем векселя:
PV = FV – D ;
PV = 19 000 – 1 900 = 17 100 (руб.)
Ответ:
- величина дисконта равна 1 900 руб.;
- сумма, полученная владельцем векселя, равна 17 100 руб.
Решение:
I = 24% = 0,24
N = 1 год
Эквивалентная годовая учётная ставка:
;
Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.
Решение: FV = 19 000 руб. j = 16% = 0,16, m = 4, n = 1,5 года = 
года.
Сумма вклада:
15 015,976 (руб.)
Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.
Решение: N = 1 год
1) M = 4, J =24% = 0,24
2) M = 2, J =26% = 0,26
3) M = 12, J = 20% = 0,2
Эффективная процентная ставка:
при N=1 год: 
;
Ответ: выдача кредитов под 26% годовых с полугодовым начислением процентов банку выгоднее, т. к. эффективная годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).
32. Банк выдаёт кредит под 24% Годовых. Полугодовой уровень инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.
Решение: n = 1 год i = 24% = 0,24 
= 3% = 0,03 N = 2
Индекс цен:
Реальная годовая процентная ставка:
Ответ: реальная годовая ставка процентов равна 16,9%.
Решение: 
= 3% = 0,03 n = 1 
= 10% = 0,1
Вывод формулы для процентной ставки:
Ответ: нужно назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.
34. Рассчитать уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.
Решение: 
N = 12 месяцев
Индекс цен:
Уровень инфляции:
Ответ: уровень инфляции за год равен 42,6%.
Решение: PV = 15 000 руб. j = 72% = 0,72 m = 12 месяцев n = 6/12 года p = 3% = 0,03,
N = 6 месяцев
Реальная покупательная способность вклада через определённое время:
(руб.)
Реальный доход вкладчика:
(руб.)
Ответ: реальный доход вкладчика равен 2 819,811 руб.
36. Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S1=19 000 руб., S2=20 000 руб., S3=21 000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S4=22 000 руб. в конце 2-го года и S5 в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S5.
Дано: 
Суммы платежей,
S1=19 000 S4 =22 000 S2=20 000 S5 - ? S3=21 000 руб.
|__________|__________|__________|__________|__________|
0 1 2 3 4 5 Сроки платежей,
Годы
наращение дисконтирование
На рис. отмечены: Полужирным шрифтом – исходный график платежей, Курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы 
: 
4 года.
Решение:
Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:
Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):
Где: N – число лет до момента приведения:
N = N0 – Ni,
Где: Ni - срок I-го платежа.
При 
- коэффициент наращения;
При 
- коэффициент дисконтирования;
При 
(руб.)
Ответ: сумма второго платежа по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.
Решение: i = 5% = 0,05 n = 6 лет FVA = 19 000 000 руб.
Размер ежегодных платежей:
(руб.)
Ответ: размер ежегодных платежей равен 2 793 331,894 руб.
Решение: R = 19 000 руб. N = 2 года I = 5% = 0,05
Величина будущего фонда:
(руб.)
Ответ: величина будущего фонда равна 38 950 руб.
Решение: R = 1 800 руб. j = 48% = 0,48 m = 12 n = 1 год
Авансовая приведённая сумма аренды:
(руб.)
Ответ: равноценный платёж, взимаемый за год вперёд, равен 17 568,858 руб.
40. Двухлетняя облигация номиналом 1 000 руб. имеет 4 Полугодовых купона доходностью 20% годовых каждый. Рассчитать цену её первоначального размещения, приняв ставку сравнения 16%.
Решение: N = 2 года N = 1 000 руб. M = 2 J = 16% = 0,16 Q = 20%
Цена первоначального размещения облигации:
1 066,243 (руб.)
Ответ: цена первоначального размещения облигации равна 1 066,243 руб.
Решение: 
дней Т = 360 дней
1) доходность по схеме простых процентов:
2) доходность по схеме сложных процентов:
Ответ:
- доходность по схеме простых процентов равна 180%;
- доходность по схеме сложных процентов равна 342,1%.
Решение: I = 5% = 0,05 N = 5 лет PVA = 1 500 000 руб.
1) амортизация займа, погашаемого равными суммами
Сумма погашения основного долга: 
(руб.)
Сумма срочной уплаты: 
Остаток долга на начало периода: 
Таблица - План амортизации займа, погашаемого равными суммами
|
№ года К |
Остаток долга на начало периода |
Сумма погашения основного долга |
Сумма процентов |
Сумма срочной уплаты |
|
1 |
1 500 000 |
300 000 |
75 000 |
375 000 |
|
2 |
1 200 000 |
300 000 |
60 000 |
360 000 |
|
3 |
900 000 |
300 000 |
45 000 |
345 000 |
|
4 |
600 000 |
300 000 |
30 000 |
330 000 |
|
5 |
300 000 |
300 000 |
15 000 |
315 000 |
|
Итого: |
Х |
1 500 000 |
225 000 |
1 725 000 |
, руб.
, руб.
, руб.
, руб.
2) амортизация займа, погашаемого равными срочными уплатами
Срочный платёж:
(руб.);
Сумма процентов: 
Погасительный платёж: 
Остаток долга на начало периода: 
Таблица - План амортизации займа, погашаемого равными срочными уплатами
|
№ Года К |
Остаток долга на начало периода
|
Остаток долга на конец периода,
|
Срочный платёж R, руб. |
Сумма процентов |
Погасительный платёж |
|
1 |
1 500 000,00 |
1 228 537,80 |
346 462,20 |
75 000,00 |
271 462,20 |
|
2 |
1 228 537,80 |
943 502,49 |
346 462,20 |
61 426,89 |
285 035,31 |
|
3 |
943 502,49 |
644 215,42 |
346 462,20 |
47 175,13 |
299 287,07 |
|
4 |
644 215,42 |
329 963,99 |
346 462,20 |
32 210,77 |
314 251,43 |
|
5 |
329 963,99 |
-0,01 |
346 462,20 |
16 498,20 |
329 964,00 |
|
Итого: |
Х |
Х |
1 732 311,00 |
232 310,99 |
1 500 000,01 |
, руб.
, руб.
, руб.Решение.
Способ 1.
K’ = K + I = 4000+44=4044,
где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;
I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;
P – процентная ставка, показывающая сколько д. е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);
D – время, выраженное в днях.
360 – число дней в году.
Способ 2.
Время t = 80/360 = 2/9.
K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,
Где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,
T – время, выраженное в годах.
Решение
2×K = I.
2×K = K×9×g/100,
G = 2×100/9 = 22.22
45. Найти текущую стоимость суммы 10 вкладов Постнумерандо по 5000 д. е. при 8% годовых, если капитализация осуществляется каждые полгода.
Решение:
При ежегодной капитализации: C0 = a×IVpn = 5000×IV8%10 = 5000×6.71=33550
Решение
Таблица - План погашения займа (амортизационный план)
|
Год |
Долг |
Процентный Платеж |
Выплата Долга |
Аннуитет |
|
1 |
20000 |
400 |
1826.53 |
2226.53 |
|
2 |
18173.47 |
363.47 |
1863.06 |
|
|
3 |
16310.41 |
326.21 |
1900.32 |
Пояснения к таблице
Аннуитет вычисляем по формуле: a = K×Vpn = 20000×V2%10 = 20000×0.1113 = 2226.53 д. е.
Чтобы определить выплату задолженности b1, вычисляем величину процентного платежа I:
I1 = K1×p/100 = 20000×2/100 = 400 д. е.
Выплата задолженности представляет собой разницу между аннуитетом и процентным платежом:
B1 = a – I1 = 2226.53 – 400 = 1826.53 д. е.
Таким образом, после первого года долг сократится на 1826.53 д. е. Остаток долга равен:
K2 = 20000 - 1826.53 = 18173.47 д. е.
Вычислим процентный платеж на остаток долга:
I2 = 18173.47×2/100 = 363.47 д. е.
Вторая выплата составит:
B2 = a – I2 = 2226.53 – 363.47 = 1863.06 д. е.
Долг уменьшится на величину 1863.06, остаток долга составит:
K3 = 18173.47 – 1863.06 = 16310.41 д. е.
Далее
I3 = 16310.41×2/100 = 326.21 д. е.
Третья выплата задолженности составит:
B3 = a – I3 = 2226.53 – 326.21 = 1900.32 д. е.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
