logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Задачи по теме вычислительные методы

Задачи по теме вычислительные методы

Задача 1 по теме “ Погрешности вычислений”.

Дана функция. Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Дано:

По записи чисел определяем их абсолютные погрешности:

Находим относительные погрешности всех трех чисел:

Найдем абсолютную погрешность числителя

Найдем относительную погрешность числителя:

Найдем относительную погрешность первого слагаемого в знаменателе:

Найдем абсолютную погрешность первого слагаемого в знаменателе:

Найдем относительную погрешность второго слагаемого в знаменателе:

Найдем абсолютную погрешность этого слагаемого:

Найдем абсолютную погрешность всего знаменателя:

Найдем относительную погрешность знаменателя:

Найдем относительную погрешность всей дроби:

Найдем абсолютную погрешность дроби и запишем эту величину, учитывая что имеется 4 верные цифры:

Применим общую теорему о вычислении погрешности

Находим все частные производные данной функции в точке

1)

2)

3)

Применяя общую теорему о вычислении погрешности вычисляем абсолютную погрешность данного выражения:

Получили то же значение абсолютной погрешности

Задача 2 по теме “Решение нелинейных уравнений”.

Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке с точностью. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Дано:

Первая итерация по методу биссекций

Вторая итерация

Третья итерация

Четвертая итерация

Пятая итерация:

Шестая итерация

Требуемая точность 0.01 достигнута:

Применим метод простой итерации

Данная функция

Ее производная

Значения производной на концах отрезка изоляции

Запишем данное уравнение в итеративном виде:

Убедимся, что отображение в правой части сжимающее

Метод простой итерации сходится

Дадим оценку скорости сходится

Определим необходимое число итераций

Выполним 5 иттераций, необходимых для достижения нудной точности

Задача 2 по теме “Решение систем линейных алгебраических уравнений”.

Решить систему линейных уравнений Аx=b методами : a) Гаусса с выбором главного элемента; b) простых итераций; с) Зейделя.

Итерационными методами решение задачи найти с точностью .

УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

1

3 12 -1 0

-5 2 0 32

2 0 16 -3

12 3 0 0

18

-15

0

21

16

4 2 32 0

2 30 0 -4

36 0 4 -5

0 0 11 40

-19

39

40

31

2

4 20 1 0

16 2 0 -2

-4 0 4 32

2 0 10 0

24

-13

0

7

17

4 -5 40 0

10 -4 0 50

32 0 4 -4

0 32 0 -9

19

0

34

-49

Начальное присвоение

Первая итерация по методу Зейделя

Вторая итерация по методу Зейделя

Третья итерация по методу Зейделя

Четвертая итерация по методу Зейделя:

Пятая итерация по методу Зейделя

Шестая итерация по методу Зейделя

Задачи по теме “Приближение функции по методу интерполяции”

Задача 1. Для функции , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке .

Таблица к задаче 1

Таблица

Таблица

1

X

-2

-1

0

1

-1.25

16

X

-3

-2

-1

0

-2.25

Y

4

1

-2

-3

Y

-2

-3

-1

0

2

X

-1

0

1

2

-0.25

17

X

-2

-1

0

1

-1.25

Y

1

-2

-3

-1

Y

-3

-1

0

7

Выписываем интерполяционный многочлен Лагранжа

Проверим его значения в узлах

Упростим вид полинома Лагранжа

Посчитаем по полиному Лагранжа значение в заданной точке

Построим таблицу разделенных разностей

Выпишем интерполяционный полином Ньютона

Проверим его значения в узлах

Выполним интерполяцию в заданную точку

Задача 1 по теме “Численное вычисление интегралов”.

Таблица к задаче 1

1

11

21

2

12

22

А) метод центральных прямоугольников

Произведем оценку погрешности

Задаем шаг

Погрешность

Произведем вычисления по данному методу

Величина интеграла

2) Метод Трапеций

Для применения метода Рунге произведем вычисления с основным и половинным шагом:

По правилу Рунге получаем:

Так как метод трапеций имеет второй порядок точности, то выполняем уточнение по правилу Рунге:

Задачи по теме “Численное решение задачи Коши”

Задача 1. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

F(t, y)

T0

T

Y0

F(t, y)

T0

T

Y0

1

1

2

0

16

1

2

1

2

+1

0

17

1

2

3

Для оценки погрешности по правилу Рунге решим задачу на сетке с половинным шагом

Вычисления ведем по той же схеме

Получение точного решения

Графики точного решения, по методу Эйлера и уточненные по методу Рунге-Кутта

 
Яндекс.Метрика
Наверх