Задачи по теме вычислительные методы

Задачи по теме вычислительные методы

Задача 1 по теме “ Погрешности вычислений”.

Дана функция. Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Дано:

По записи чисел определяем их абсолютные погрешности:

Находим относительные погрешности всех трех чисел:

Найдем абсолютную погрешность числителя

Найдем относительную погрешность числителя:

Найдем относительную погрешность первого слагаемого в знаменателе:

Найдем абсолютную погрешность первого слагаемого в знаменателе:

Найдем относительную погрешность второго слагаемого в знаменателе:

Найдем абсолютную погрешность этого слагаемого:

Найдем абсолютную погрешность всего знаменателя:

Найдем относительную погрешность знаменателя:

Найдем относительную погрешность всей дроби:

Найдем абсолютную погрешность дроби и запишем эту величину, учитывая что имеется 4 верные цифры:

Применим общую теорему о вычислении погрешности

Находим все частные производные данной функции в точке

1)

2)

3)

Применяя общую теорему о вычислении погрешности вычисляем абсолютную погрешность данного выражения:

Получили то же значение абсолютной погрешности

Задача 2 по теме “Решение нелинейных уравнений”.

Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке с точностью. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Дано:

Первая итерация по методу биссекций

Вторая итерация

Третья итерация

Четвертая итерация

Пятая итерация:

Шестая итерация

Требуемая точность 0.01 достигнута:

Применим метод простой итерации

Данная функция

Ее производная

Значения производной на концах отрезка изоляции

Запишем данное уравнение в итеративном виде:

Убедимся, что отображение в правой части сжимающее

Метод простой итерации сходится

Дадим оценку скорости сходится

Определим необходимое число итераций

Выполним 5 иттераций, необходимых для достижения нудной точности

Задача 2 по теме “Решение систем линейных алгебраических уравнений”.

Решить систему линейных уравнений Аx=b методами : a) Гаусса с выбором главного элемента; b) простых итераций; с) Зейделя.

Итерационными методами решение задачи найти с точностью .

УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

№			№
1	3 12 -1 0 -5 2 0 32 2 0 16 -3 12 3 0 0	18 -15 0 21	16	4 2 32 0 2 30 0 -4 36 0 4 -5 0 0 11 40	-19 39 40 31
2	4 20 1 0 16 2 0 -2 -4 0 4 32 2 0 10 0	24 -13 0 7	17	4 -5 40 0 10 -4 0 50 32 0 4 -4 0 32 0 -9	19 0 34 -49

Начальное присвоение

Первая итерация по методу Зейделя

Вторая итерация по методу Зейделя

Третья итерация по методу Зейделя

Четвертая итерация по методу Зейделя:

Пятая итерация по методу Зейделя

Шестая итерация по методу Зейделя

Задачи по теме “Приближение функции по методу интерполяции”

Задача 1. Для функции , заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке .

Таблица к задаче 1

№	Таблица		№	Таблица
1	X	-2	-1	0	1	-1.25	16	X	-3	-2	-1	0	-2.25
Y	4	1	-2	-3	Y	-2	-3	-1	0
2	X	-1	0	1	2	-0.25	17	X	-2	-1	0	1	-1.25
Y	1	-2	-3	-1	Y	-3	-1	0	7

Выписываем интерполяционный многочлен Лагранжа

Проверим его значения в узлах

Упростим вид полинома Лагранжа

Посчитаем по полиному Лагранжа значение в заданной точке

Построим таблицу разделенных разностей

Выпишем интерполяционный полином Ньютона

Проверим его значения в узлах

Выполним интерполяцию в заданную точку

Задача 1 по теме “Численное вычисление интегралов”.

Таблица к задаче 1

№		№		№
1		11		21
2		12		22

А) метод центральных прямоугольников

Произведем оценку погрешности

Задаем шаг

Погрешность

Произведем вычисления по данному методу

Величина интеграла

2) Метод Трапеций

Для применения метода Рунге произведем вычисления с основным и половинным шагом:

По правилу Рунге получаем:

Так как метод трапеций имеет второй порядок точности, то выполняем уточнение по правилу Рунге:

Задачи по теме “Численное решение задачи Коши”

Задача 1. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

№	F(t, y)	T0	T	Y0	№	F(t, y)	T0	T	Y0
1		1	2	0	16		1	2	1
2			+1	0	17		1	2	3

Для оценки погрешности по правилу Рунге решим задачу на сетке с половинным шагом

Вычисления ведем по той же схеме

Получение точного решения

Графики точного решения, по методу Эйлера и уточненные по методу Рунге-Кутта

< Предыдущая		Следующая >