Типовый расчёт - теория функции комплексного переменного
Вариант 9
Задание 1.
Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.
.
Пусть . Так как .
Найдем
Следовательно
Тогда
.
Это есть алгебраическая форма числа.
Найдем модуль и аргумент числа z.
.
.
Запишем число в показательной и тригонометрической формах.
.
Ответ: .
Задание 2.
Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.
.
Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что .
Известно, что .
Обозначим . Получаем уравнение:
,
,
Отсюда
.
Ответ: .
Задание 3.
Определить при каких значениях параметра , функция является мнимой частью некоторой регулярной функции . Восстановить .
Решение.
Определим параметр .
Из условия .
, ,
, .
Тогда согласно условию
Это равенство выполняется при .
Зануляет саму функцию. Рассматриваем .
Тогда .
Восстановим .
Используем условие Коши – Римана
Найдем частные производные функции .
, .
Тогда по условию Коши – Римана
.
.
Снова используем условие Коши – Римана
,
.
Получим .
Ответ: .
Задание 4.
Дана функция и множество .
1) Изобразить множество на комплексной плоскости.
2) Найти образ множества при отображении (описать множество С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.
,
Решение.
1) Изобразим множество
Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.
Второму неравенству соответствует угол между лучами и .
Луч не входит в область, входит.
2)
А)
Область остается неизменной.
Б)
- коэффициент растяжения функции.
Тогда получим область
В). Это есть перенос на (-2+i).
Получим искомую область Е/:
Задание 5.
Дана функция И точка .
1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням . Указать области, в которых справедливы полученные разложения.
2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, .
Решение.
1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е. .
Найдем коэффициенты A, B и С.
,
,
Получили .
У функции три особые точки , И .
Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:
I);
II);
III).
А) Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Используем разложение , .
Значит при и при , т. е. при и При можно получить разложения полученных выражений в ряд:
Аналогично,
.
Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:
.
Б) При и при Полученные ряды расходятся.
Представим функции по-другому:
,
.
Используем разложение , .
Причем полученные ряды сходятся при и при ,т. е. при и при .
Тогда в кольцах и Получим разложение функции В ряд Лорана
.
2) Точка не является изолированной особой точкой функции .
Вычет в этой точке равен 0.
3) Точка является устранимой особой точкой. Вычет в этой точке равен 0.
Задание 6.
Дана функция и дано число .
1) Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .
2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.
, .
Решение.
1) Функция аналитическая при всех .
В этой области воспользуемся разложением функции .
Тогда
.
2) Точка является существенно особой. Вычет в этой точке равен ∞.
3) Точка не является устранимой особой точкой, так как
Вычет в этой точке равен .
Задание 7.
Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.
, .
Решение.
Функция имеет особые точки .
Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:
Получается, что в круге лежат обе особые точки .
Так как - полюс первого порядка, то интеграл равен
,
Так как - полюс второго порядка, то интеграл равен
Ответ: .
Задание 8.
Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.
, .
Решение.
Рассмотрим функцию .
Она имеет два полюса: и .
Вычислим вычеты:
,
.
Тогда интеграл равен
Ответ: .
Задание 9.
Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области (каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).
, .
Решение.
Пусть , где и .
При , имеем , , т. е. .
По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге .
Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.
Пусть , где и .
При , имеем , , т. е. .
По теореме Руше четыре нуля функции Лежит в круге .
Значит, в области содержится два нуля.
Ответ: 2 нуля.
Задание 10.
С помощью вычетов найти оригинал изображения . Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )
.
Решение.
.
Рассмотрим функцию .
Найдем корни уравнения ,
, , - это особые точки второго порядка для данной функции.
Найдем вычеты в особых точках
,
,
.
Тогда
.
Оригинал равен .
Проверим по таблице основные оригиналы и изображения:
, , .
Тогда
. Следовательно, оригинал найден верно.
Ответ: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|