logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Типовый расчёт - теория функции комплексного переменного

Вариант 9

Задание 1.

Записать комплексное число z в алгебраической, показательной и тригонометрической формах.

.

Решение.

Пусть . Так как .

Найдем

Следовательно

Тогда

.

Это есть алгебраическая форма числа.

Найдем модуль и аргумент числа z.

.

.

Запишем число в показательной и тригонометрической формах.

.

Ответ: .

Задание 2.

Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.

.

Решение.

Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что .

Известно, что .

Обозначим . Получаем уравнение:

,

,

Отсюда

.

Ответ: .

Задание 3.

Определить при каких значениях параметра , функция является мнимой частью некоторой регулярной функции . Восстановить .

Решение.

Определим параметр .

Из условия .

, ,

, .

Тогда согласно условию

Это равенство выполняется при .

Зануляет саму функцию. Рассматриваем .

Тогда .

Восстановим .

Используем условие Коши – Римана

Найдем частные производные функции .

, .

Тогда по условию Коши – Римана

.

.

Снова используем условие Коши – Римана

,

.

Получим .

Ответ: .

Задание 4.

Дана функция и множество .

1)  Изобразить множество на комплексной плоскости.

2)  Найти образ множества при отображении (описать множество С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.

,

Решение.

1)  Изобразим множество

Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.

Второму неравенству соответствует угол между лучами и .

Луч не входит в область, входит.

2)

А)

Область остается неизменной.

Б)

- коэффициент растяжения функции.

Тогда получим область

В). Это есть перенос на (-2+i).

Получим искомую область Е/:

Задание 5.

Дана функция И точка .

1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням . Указать области, в которых справедливы полученные разложения.

2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е. .

Найдем коэффициенты A, B и С.

,

,

Получили .

У функции три особые точки , И .

Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:

I);

II);

III).

А) Преобразуем дроби к нужному виду

,

.

Используем разложение , .

Значит при и при , т. е. при и При можно получить разложения полученных выражений в ряд:

Аналогично,

.

Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:

.

Б) При и при Полученные ряды расходятся.

Представим функции по-другому:

,

.

Используем разложение , .

Причем полученные ряды сходятся при и при ,т. е. при и при .

Тогда в кольцах и Получим разложение функции В ряд Лорана

.

2)  Точка не является изолированной особой точкой функции .

Вычет в этой точке равен 0.

3)  Точка является устранимой особой точкой. Вычет в этой точке равен 0.

Задание 6.

Дана функция и дано число .

1)  Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1)  Функция аналитическая при всех .

В этой области воспользуемся разложением функции .

Тогда

.

2)  Точка является существенно особой. Вычет в этой точке равен ∞.

3) Точка не является устранимой особой точкой, так как

Вычет в этой точке равен .

Задание 7.

Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.

, .

Решение.

Функция имеет особые точки .

Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:

Получается, что в круге лежат обе особые точки .

Так как - полюс первого порядка, то интеграл равен

,

Так как - полюс второго порядка, то интеграл равен

Ответ: .

Задание 8.

Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.

, .

Решение.

Рассмотрим функцию .

Она имеет два полюса: и .

Вычислим вычеты:

,

.

Тогда интеграл равен

Ответ: .

Задание 9.

Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области (каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).

, .

Решение.

Пусть , где и .

При , имеем , , т. е. .

По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге .

Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.

Пусть , где и .

При , имеем , , т. е. .

По теореме Руше четыре нуля функции Лежит в круге .

Значит, в области содержится два нуля.

Ответ: 2 нуля.

Задание 10.

С помощью вычетов найти оригинал изображения . Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )

.

Решение.

.

Рассмотрим функцию .

Найдем корни уравнения ,

, , - это особые точки второго порядка для данной функции.

Найдем вычеты в особых точках

,

,

.

Тогда

.

Оригинал равен .

Проверим по таблице основные оригиналы и изображения:

, , .

Тогда

. Следовательно, оригинал найден верно.

Ответ: .

 
Яндекс.Метрика
Наверх