Теория вероятности и математическая статистика 01

Контрольные задания

І. Теория вероятностей.

1А. Определение сложных событий.

Задача 1.3. Техническое устройство состоит из трех последовательно и двух параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства.

Решение

Введем обозначения:

Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён)

Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён)

Событие C – блок 3 исправен (последовательно соединён)

Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён)

Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён)

Событие G - техническое устройство исправно.

Так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению — произведение событий.

Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом:

G= A* B* C*( D+ E)

2А. Способы определения вероятностей.

Задача 2.3. В барабане револьвера семь гнезд, из них в шести заложены патроны, а один оставлен пустым. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Определить вероятность того, что выстрел произойдет.

Решение

В нашем случае элементарным исходом является появление одного из гнезд против ствола.

N=7 (количество гнёзд в барабане) - количество всех элементарных исходов.

Итак,  все элементарные исходы равновозможны, следовательно, эксперимент, описанный в задаче, удовлетворяет классическому определению вероятности.

- против ствола случайным образом оказывается одно из шести гнезд, в которые заложены патроны.

- количество всех благоприятствующих исходов.

- искомая вероятность.

Ответ:

3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 3.3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Определить вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором – черный (событие ) и при третьем – синий (событие ).

Решение

Вероятность появления белого шара в первом испытании (всего в урне 5+4+3=12 шаров, из них белых 5 штук – по классическому определению вероятности).

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность .

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность .

Искомая вероятность

Ответ:

5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 5.3. По баскетбольному кольцу производится два независимых друг от друга броска. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. Составить ряд распределения и найти дисперсию числа попаданий в кольцо при двух бросках.

Решение

Случайная величина Х – число попаданий мячом в кольцо при двух бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2. Найдём соответствующие вероятности:

При х=0 – два промаха. Вероятность промаха при первом броске 1-0,4=0,6, при втором броске 1-0,6=0,4. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=2 – оба попадания. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=1 – одно попадание и один промах. Так как события один промах одно попадание, оба промаха и оба попадания образуют полную группу событий то искомую вероятность найдём по формуле:

Получили ряд распределения

Дисперсию найдём по формуле , тогда

Получим

Ответ:

6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 6.3. Случайная величина имеет плотность распределения

.

Определить постоянное число «с», математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение

Для определения значения C воспользуемся условием . Вычислим интеграл ,

Плотность распределения случайной величины Х примет вид

Математическое ожидание находим по формуле :

Дисперсию найдем по формуле :

,

Тогда .

Контрольные задания

ІІ. Математическая статистика

13А. Выборочный метод математической статистики

Пример 13.3. Построить полигон и гистограмму относительных частот по данному распределению

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для построения гистограммы относительных частот дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в 6 столбце таблицы.

График гистограммы изображен на рис.

Строим полигон:

14А. Статистические оценки параметров распределения.

14.1.Точечные оценки параметров распределения

Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:

Найти оценку математического ожидания и дисперсии

Решение

1.Для оценки математического ожидания используем формулу

В нашем случае 2. Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].

Используем формулу

В нашем случае: б) когда неизвестно математическое ожидание .

В этом случае используем статистическое математическое ожидание и формулу

В нашем случае:

14.2. Интервальная оценка параметров распределения

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины , если по результатам N =103 измерений получены оценки

Решение

Используем формулу для доверительного интервала

Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Определить доверительный интервал .

Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N =103 измерений.

Решение

Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание и

Используем формулу Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Б) когда неизвестно математическое ожидание и

Используем формулу

В нашем случае

Тогда

16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки

Примеры 1.10. Дана выборка объёма , заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.

Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии . Построить график линии регрессии относительно точек таблицы. Найти остаточную дисперсию.

таблица №3

Решение

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

A•n + b∑x = ∑y

A∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

5a + -2.5 b = 7.5

-2.5 a + 1.88 b = -4.52

Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

Y = -1.232 x + 0.884

Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Ковариация. (корреляционный момент)

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и обратная.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -1.23 x + 0.88

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу

Остаточная дисперсия

В нашем случае

Построим график линии регрессии относительно точек таблицы.