Теория вероятности и математическая статистика 01 |
Контрольные задания І. Теория вероятностей. 1А. Определение сложных событий. Задача 1.3. Техническое устройство состоит из трех последовательно и двух параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства. Введем обозначения: Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён) Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён) Событие C – блок 3 исправен (последовательно соединён) Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён) Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён) Событие G - техническое устройство исправно. Так как параллельному соединению соответствует сумма событий, а последовательному соединению — произведение событий. Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом: G= A* B* C*( D+ E) 2А. Способы определения вероятностей. Задача 2.3. В барабане револьвера семь гнезд, из них в шести заложены патроны, а один оставлен пустым. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Нажимается спусковой крючок. Определить вероятность того, что выстрел произойдет. В нашем случае элементарным исходом является появление одного из гнезд против ствола. N=7 (количество гнёзд в барабане) - количество всех элементарных исходов. Итак, все элементарные исходы равновозможны, следовательно, эксперимент, описанный в задаче, удовлетворяет классическому определению вероятности.
Ответ: 3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Задача 3.3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Определить вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие Решение Вероятность появления белого шара в первом испытании Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность Искомая вероятность Ответ: 5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики. Задача 5.3. По баскетбольному кольцу производится два независимых друг от друга броска. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. Составить ряд распределения и найти дисперсию Решение Случайная величина Х – число попаданий мячом в кольцо при двух бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2. Найдём соответствующие вероятности: При х=0 – два промаха. Вероятность промаха при первом броске 1-0,4=0,6, при втором броске 1-0,6=0,4. По теореме умножения вероятностей независимых событий: При х=2 – оба попадания. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.4, втором – 0.6. По теореме умножения вероятностей независимых событий: При х=1 – одно попадание и один промах. Так как события один промах одно попадание, оба промаха и оба попадания образуют полную группу событий то искомую вероятность найдём по формуле: Получили ряд распределения
Дисперсию найдём по формуле Получим Ответ: 6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики. Задача 6.3. Случайная величина
Определить постоянное число «с», математическое ожидание Решение Для определения значения C воспользуемся условием Плотность распределения случайной величины Х примет вид Математическое ожидание находим по формуле Дисперсию найдем по формуле
Тогда Контрольные задания ІІ. Математическая статистика 13А. Выборочный метод математической статистики Пример 13.3. Построить полигон и гистограмму относительных частот по данному распределению
Решение Объем выборки
Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в 6 столбце таблицы. График гистограммы изображен на рис. Строим полигон:
14А. Статистические оценки параметров распределения. 14.1.Точечные оценки параметров распределения Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:
Найти оценку математического ожидания Решение 1.Для оценки математического ожидания В нашем случае А) когда известно математическое ожидание Используем формулу В нашем случае: В этом случае используем статистическое математическое ожидание В нашем случае: 14.2. Интервальная оценка параметров распределения Определить доверительный интервал Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал Решение Используем формулу для доверительного интервала Значение табличной функции В нашем случае Тогда Определить доверительный интервал Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.96) доверительный интервал Решение Оценку для дисперсии А) когда известно математическое ожидание Используем формулу В нашем случае Тогда Б) когда неизвестно математическое ожидание Используем формулу В нашем случае Тогда 16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки Примеры 1.10. Дана выборка объёма Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии таблица №3
Решение Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то: 1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β 2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке; Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти. Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(yi - y*i)2 → min Система нормальных уравнений. A•n + b∑x = ∑y A∑x + b∑x2 = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид 5a + -2.5 b = 7.5 -2.5 a + 1.88 b = -4.52 Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение: Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -1.232, a = 0.884 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): Y = -1.232 x + 0.884 Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу
1. Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние. Выборочные дисперсии: Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции Ковариация. (корреляционный момент) Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая; В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и обратная. 1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии). Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -1.23 x + 0.88 Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу
Остаточная дисперсия В нашем случае Построим график линии регрессии относительно точек
|