Теория вероятности и математическая статистика 05
Блок «Теория вероятностей»
α = 1, β = 5
1. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течении времени t безотказно с вероятностями р1 = 0,94; р2 = 0,89; р3 = 0,75. Найти вероятность того, что за время t выйдет из строя:
А) только один элемент;
Б) хотя бы один элемент.
Предложим, что события:
А – за время выйдет из строя только один элемент;
В – за время выйдет из строя хотя бы один элемент.
Событие А можно представить следующим образом: 
. – первый работает, остальные два вышли из строя или первый и третий вышли из строя второй – работает или первый и второй элементы вышли из строя третий – работает.
Р1 = 0,94 – первый элемент работает; q1 = 1 - 0,94 = 0.06– первый элемент не работает;
Р2 = 0,89 – второй элемент работает; q2 = 1 - 0,89 = 0.11 - второй элемент не работает;
Р3 = 0,75 – третий элемент работает; q3 = 1 - 0,75 = 0.25 – третий элемент не работает;
Рассмотрим событие В. 
как противоположные события. Событие 
можно представить следующим образом: = 
,
.
Ответ: 1) 
2) 
2. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
Найти:
А) параметр k и математическое ожидание M(x);
Б) Интегральную функцию распределения F(x) и вероятность события х > 2
А) Найдем параметр k из условия нормировки 
. Получаем:
Тогда:
Вычислим математическое ожидание 
,
Б) Воспользуемся формулой для нахождения функции распределения:
Если 
то 
, значит 
;
Если 
то 
, значит
Если 
то , значит 
Таким образом, 
имеет вид:
Ответ: а) ; ; б) ; 
Блок «Математическая статистика»
Выборка задана дискретным вариационным рядом
Требуется:
А) вычислить среднее выборочное;
Б) вычислить дисперсию;
В) вычислить среднее квадратичное отклонение;
Г) вычислить теоретические частоты (предполагая нормальное распределение генеральной совокупности);
Д) по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении совокупности при уровне значимости α = 0,05.
Решение
Введем вспомогательную переменную U
А) 
; б) 
; в) 
Г) 
Тогда
Д) 
Так как α = 0,05; 
. По таблице находим: 
Так как 
, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе согласуется с опытными данными.
Домашнее задание по блоку «Математическая статистика».
Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков Х и У задана корреляционной таблицей:
Найти: а) выборочный коэффициент корреляции;
Б) выборочное уравнение прямолинейной регрессии У на Х. построить график этого уравнения и точки корреляционного поля.
Решение
А) Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
Дисперсии:
Откуда получаем: σx = 0,72 и σy = 9,71, и ковариация:
Cov (х, у) = (11 × 7 × 2 + 11 × 18 × 3 + 11.5 × 7 × 3 + 11.5 × 18 × 8 + 11.5 × 29 × 2 + 12 × 18 × 9 + 12 × 29 × 17 + 12,5 × 29× 15 + 12,5 × 40 × 9 + 13 × 29 × 9+13 × 40 × 10+13.5 × 29 × 3+13.5 × 40 × 6+13.5 × 51 × 1+14 × 40 × 1+14 × 51 × 2) / 100 – 12,405 × 29,22 = =5,47
Определим коэффициент корреляции
Б) Запишем уравнения линий регрессии:
И вычисляя, получаем
Построим в одной системе данные точки и прямую регрессию.
Рис 1
Домашнее задание по блоку «Теория вероятностей»
1. В урне содержится 8 черных и 8 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:
А) ровно половина белых шаров;
Б) хотя бы один белый шар.
Решение
А) Пусть событие А – 2 шара белых.
По классическому определению вероятности.
- благоприятных случаев
Б) хотя бы один белый шар.
Событию В (из вытянутых шаров хотя бы один белый) противоположно событие – ни один шар не белый, т. е. все шары черные:
- все шары черные
.
Ответ: а) б) 
2. В ящике 7 исправных и 7 неисправных ламп. К ним добавляют две лампы (все предположения об исправности этих ламп равновозможны). После этого из ящика случайным образом достают четыре лампы.
А) найти вероятность того, что все вынутые лампы исправны;
Б) найти вероятность того, что в урну были добавлены две исправных лампы, если все вынутые лампы оказались исправными.
Решение
А = {вытянутые лампы исправны};
Н1 = { при добавлении была добавлена 1 исправная лампа и 1 неисправная лампа } 
;
Н2 = { при добавлении было добавлено 2 исправные лампы} 
;
Н3 = { при добавлении было добавлено 2 неисправные лампы } 
;
Пусть А – событие, состоит в том, что взятые лампы исправлены. Это событие наступит одновременно с наступлением одного из трех гипотез. Условные вероятности равны:
По формуле полной вероятности:
Б) Найти вероятность того, что в урну были добавлены две исправных лампы, если все вынутые лампы оказались исправными. Необходимо переоценить вероятности гипотез с учетом того, что добавлено 2 исправных лампы т. е. используем формулу Байеса:
Ответ: 
; 
3. В каждом из девяти независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р = 0,32. Найти вероятность того, что событие А произойдет:
А) ровно четыре раза;
Б) более семи раз.
Решение
А) Вероятность того, что событие произойдет ровно 4 раза из 9, найдем по формуле Бернулли, т. к. число испытаний 
невелико 
, q =1 - 0.32=0.1, p=0.68:
Б) более семи раз
«более семи» раз означает или "ровно восемь" или "ровно девять" Поэтому:
Ответ: а) 
б) 
4. Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием М(х) = 4,95 задана законом распределения:
А) найти р1 и р3 и построить интегральную функцию распределения F(х);
Б) вычислить дисперсию D(x)
Решение
А) Запишем формулу математического ожидания:
Зная что, сумма всех вероятностей равна 1, запишем систему, где первое уравнение математическое ожидание, а второе сумма вероятностей:
Выполним проверку:
Вероятности найдены правильно.
Интегральную функцию распределения
Б) Дисперсию найдем по формуле: 
.
Тогда 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
