logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Теория вероятности и математическая статистика 05

Блок «Теория вероятностей»

α = 1, β = 5

1.  Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течении времени t безотказно с вероятностями р1 = 0,94; р2 = 0,89; р3 = 0,75. Найти вероятность того, что за время t выйдет из строя:

А) только один элемент;

Б) хотя бы один элемент.

Решение

Предложим, что события:

А – за время выйдет из строя только один элемент;

В – за время выйдет из строя хотя бы один элемент.

Событие А можно представить следующим образом: . – первый работает, остальные два вышли из строя или первый и третий вышли из строя второй – работает или первый и второй элементы вышли из строя третий – работает.

Р1 = 0,94 – первый элемент работает; q1 = 1 - 0,94 = 0.06– первый элемент не работает;

Р2 = 0,89 – второй элемент работает; q2 = 1 - 0,89 = 0.11 - второй элемент не работает;

Р3 = 0,75 – третий элемент работает; q3 = 1 - 0,75 = 0.25 – третий элемент не работает;

Рассмотрим событие В. как противоположные события. Событие можно представить следующим образом: =

,

.

Ответ: 1) 2)

2. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Найти:

А) параметр k и математическое ожидание M(x);

Б) Интегральную функцию распределения F(x) и вероятность события х > 2

Решение

А) Найдем параметр k из условия нормировки . Получаем:

Тогда:

Вычислим математическое ожидание

,

Б) Воспользуемся формулой для нахождения функции распределения:

Если то , значит ;

Если то , значит

Если то , значит

Таким образом, имеет вид:

Ответ: а) ; ; б) ;

Блок «Математическая статистика»

Выборка задана дискретным вариационным рядом

Требуется:

А) вычислить среднее выборочное;

Б) вычислить дисперсию;

В) вычислить среднее квадратичное отклонение;

Г) вычислить теоретические частоты (предполагая нормальное распределение генеральной совокупности);

Д) по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Решение

Введем вспомогательную переменную U

А) ; б) ; в)

Г)

Тогда

Д)

Так как α = 0,05; . По таблице находим: Так как , то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе согласуется с опытными данными.

Домашнее задание по блоку «Математическая статистика».

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков Х и У задана корреляционной таблицей:

Найти: а) выборочный коэффициент корреляции;

Б) выборочное уравнение прямолинейной регрессии У на Х. построить график этого уравнения и точки корреляционного поля.

Решение

А) Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Найдем необходимые числовые характеристики.

Выборочные средние:

Дисперсии:

Откуда получаем: σx = 0,72 и σy = 9,71, и ковариация:

Cov (х, у) = (11 × 7 × 2 + 11 × 18 × 3 + 11.5 × 7 × 3 + 11.5 × 18 × 8 + 11.5 × 29 × 2 + 12 × 18 × 9 + 12 × 29 × 17 + 12,5 × 29× 15 + 12,5 × 40 × 9 + 13 × 29 × 9+13 × 40 × 10+13.5 × 29 × 3+13.5 × 40 × 6+13.5 × 51 × 1+14 × 40 × 1+14 × 51 × 2) / 100 – 12,405 × 29,22 = =5,47

Определим коэффициент корреляции

Б) Запишем уравнения линий регрессии:

И вычисляя, получаем

Построим в одной системе данные точки и прямую регрессию.

Рис 1

Домашнее задание по блоку «Теория вероятностей»

1.  В урне содержится 8 черных и 8 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них:

А) ровно половина белых шаров;

Б) хотя бы один белый шар.

Решение

А) Пусть событие А – 2 шара белых.

По классическому определению вероятности.

- благоприятных случаев

Б) хотя бы один белый шар.

Событию В (из вытянутых шаров хотя бы один белый) противоположно событие – ни один шар не белый, т. е. все шары черные:

- все шары черные

.

Ответ: а) б)

2. В ящике 7 исправных и 7 неисправных ламп. К ним добавляют две лампы (все предположения об исправности этих ламп равновозможны). После этого из ящика случайным образом достают четыре лампы.

А) найти вероятность того, что все вынутые лампы исправны;

Б) найти вероятность того, что в урну были добавлены две исправных лампы, если все вынутые лампы оказались исправными.

Решение

А = {вытянутые лампы исправны};

Н1 = { при добавлении была добавлена 1 исправная лампа и 1 неисправная лампа } ;

Н2 = { при добавлении было добавлено 2 исправные лампы} ;

Н3 = { при добавлении было добавлено 2 неисправные лампы } ;

Пусть А – событие, состоит в том, что взятые лампы исправлены. Это событие наступит одновременно с наступлением одного из трех гипотез. Условные вероятности равны:

По формуле полной вероятности:

Б) Найти вероятность того, что в урну были добавлены две исправных лампы, если все вынутые лампы оказались исправными. Необходимо переоценить вероятности гипотез с учетом того, что добавлено 2 исправных лампы т. е. используем формулу Байеса:

Ответ: ;

3. В каждом из девяти независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р = 0,32. Найти вероятность того, что событие А произойдет:

А) ровно четыре раза;

Б) более семи раз.

Решение

А) Вероятность того, что событие произойдет ровно 4 раза из 9, найдем по формуле Бернулли, т. к. число испытаний невелико , q =1 - 0.32=0.1, p=0.68:

Б) более семи раз

«более семи» раз означает или "ровно восемь" или "ровно девять" Поэтому:

Ответ: а) б)

4. Дискретная случайная величина Х с математическим ожиданием М(х) = 4,95 задана законом распределения:

А) найти р1 и р3 и построить интегральную функцию распределения F(х);

Б) вычислить дисперсию D(x)

Решение

А) Запишем формулу математического ожидания:

Зная что, сумма всех вероятностей равна 1, запишем систему, где первое уравнение математическое ожидание, а второе сумма вероятностей:

Выполним проверку:

Вероятности найдены правильно.

Интегральную функцию распределения

Б) Дисперсию найдем по формуле: .

Тогда

 
Яндекс.Метрика
Наверх