Теория вероятности и математическая статистика 04

Контрольные задания

І. Теория вероятностей.

1А. Определение сложных событий.

Задача 1.1 Техническое устройство состоит из двух последовательно и трех параллельно соединенных блоков. Определить сложное событие, характеризующее исправное состояние устройства.

Решение

Введем обозначения:

Событие A – блок 1 исправен (последовательно соединён)

Событие B – блок 2 исправен (последовательно соединён)

Событие C – блок 3 исправен (параллельно соединён)

Событие D – блок 4 исправен (параллельно соединён)

Событие E – блок 5 исправен (параллельно соединён)

Событие G - техническое устройство исправно.

Так как параллельному соединению соответствует сумма собы­тий, а последовательному соединению — произведение событий.

Тогда Сложное событие G, характеризующее исправное состояние устройства, можно определить следующим образом:

G=A*B*(С+D+E)

2А. Способы определения вероятностей.

Задача 2.1. Бросаются два игральных кубика и рассматриваются события:

– сумма выпавших очков четная;

– произведение выпавших очков менее 37;

– сумма выпавших очков более 15.

Определить вероятности Р(), Р(), Р().

Решение

На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны и при бросании другой кости. Каждый из исходов бросания «первой» может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом общее число возможных элементарных исходов испытания равно . Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.

Найдём вероятность того, что сумма выпавших очков четная.

Благоприятствующими интересующему нас событию (сумма выпавших очков четная) являются следующие исходы:

1)1, 1 2)1, 3 3)1, 5 4)2, 2 5)2, 4 6)2, 6

7)3, 1 8)3, 3 9)3, 5 10)4, 2 11)4, 4 12)4, 6

13)5, 1 14)5, 3 15)5, 5 16)6, 2 17)6, 4 18)6, 6

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов испытания:

Найдём вероятность того, что произведение выпавших очков менее 37:

Благоприятствующими интересующему нас событию (произведение выпавших очков менее 37) являются все возможные исходы, так как произведение даже двух наибольших значений меньше 37 (6*6=36<37).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов испытания:

Найдём вероятность того, что сумма выпавших очков более 15.

Благоприятствующих интересующему нас событию (сумма выпавших очков более 15) исходов нет, так как сумма даже двух наибольших значений меньше 15 (6+6=12<15).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов испытания:

Ответ: , , .

3А. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 3.1. Производится два броска по баскетбольному кольцу. Вероятности попадания при первом и втором бросках равны соответственно 0.3 и 0.8. Найти вероятность того, что в результате этих бросков в кольцо будет ровно одно попадание.

Решение

Введем события:

А - в результате этих бросков в кольцо будет ровно одно попадание.

А1 – первый раз мяч попал в кольцо,

А2 – второй раз мяч попал в кольцо,

И соответственно:

– первый раз мяч не попал в кольцо

– второй раз мяч не попал в кольцо

Тогда, событие А произойдет, если произойдут события А1 и или и .

Тогда по теоремам сложения и умножения вероятностей независимых событий, искомую вероятность можно найти по формуле

Таким образом,

Ответ:

5А. Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 5.1. По баскетбольному кольцу производится два независимых друг от друга броска. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.6, втором – 0.7. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание числа попаданий в кольцо при двух бросках.

Решение

Случайная величина Х – число попаданий мячом в кольцо при двух бросках. Она может принимать значения 0, 1, 2. Найдём соответствующие вероятности:

При х=0 – два промаха. Вероятность промаха при первом броске 1-0,6=0,4, при втором броске 1-0,7=0,3. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=2 – оба попадания. Вероятность попадания в кольцо при первом броске равна 0.6, втором – 0.7. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

При х=1 – одно попадание и один промах. Так как события один промах одно попадание, оба промаха и оба попадания образуют полную группу событий то искомую вероятность найдём по формуле:

Получили ряд распределения

Найдём математическое ожидание числа попаданий в кольцо при двух бросках:

Ответ:

6А. Закон распределения непрерывной случайной величины и ее числовые характеристики.

Задача 6.1. Случайная величина имеет плотность распределения

. Найти числовые характеристики случайной величины .

Решение

Математическое ожидание находим по формуле

:

Дисперсию найдем по формуле :

,

Тогда .

Среднее квадратическое отклонение:

Контрольные задания

ІІ. Математическая статистика

13А. Выборочный метод математической статистики

Пример 13.1. Построить полигон и гистограмму относительных частот по данному распределению

Решение

Объем выборки , длина интервала . Для построения гистограммы относительных частот дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .

Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в 6 столбце таблицы.

График гистограммы изображен на рис.

Строим полигон:

14А. Статистические оценки параметров распределения.

14.1.Точечные оценки параметров распределения

Примеры 1.– 10. Испытано 12 однотипных микросхем и с точностью до 1.0 часа зарегистрировано время безотказной работы каждой из них. Результаты испытаний сведены в таблицу:

Найти оценку математического ожидания и дисперсии

Решение

1.Для оценки математического ожидания используем формулу

В нашем случае 2. Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание = 130 [час].

Используем формулу

В нашем случае: б) когда неизвестно математическое ожидание .

В этом случае используем статистическое математическое ожидание и формулу

В нашем случае:

14.2. Интервальная оценка параметров распределения

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 95-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания Случайной величины , если по результатам N = 101 измерений получены оценки

Решение

Используем формулу для доверительного интервала

Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Определить доверительный интервал.

Примеры 1.– 10. Построить 96-процентный (β=0.95) доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии случайной величины по результатам N = 101 измерений.

Решение

Оценку для дисперсии проведём:

А) когда известно математическое ожидание и

Используем формулу Значение табличной функции положим

В нашем случае

Тогда

Б) когда неизвестно математическое ожидание и

Используем формулу

В нашем случае

Тогда

16А. Определение характеристик случайных величин и построение линий регрессии по данным выборки

Примеры 1.10. Дана выборка объёма , заданная в таблицах №№1–10. Номер таблицы определяется последней цифрой зачётной книжки.

Требуется: вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии, средние квадратические отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Составить уравнение линии регрессии . Построить график линии регрессии относительно точек таблицы. Найти остаточную дисперсию.

таблица №1

Решение

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Так как отклонения εi для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т. к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

A•n + b∑x = ∑y

A∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

5a + 10 b = 10.5

10 a + 30 b = 33

Из первого уравнения выражаем А и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.2, a = -0.3

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

Y = 1.2 x - 0.3

Эмпирические коэффициенты регрессии A и B являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Ковариация. (корреляционный момент)

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 1.2x - 0.3

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:

Остаточная дисперсия

В нашем случае

Построим график линии регрессии относительно точек таблицы.

Яндекс.Метрика