logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Теория вероятности и математическая статистика 02

Вариант 16

1. На предприятии установлены 3 технологические линии. Вероятность отказа первой в течение месяца равна 0,2, второй – 0,1, третьей – 0,3. Найти вероятность того, что на протяжении месяца откажет хотя бы одна линия.

Решение:

Пусть события А, В, С состоят в том, что в течение месяца откажет первая, вторая или третья линии соответственно. Тогда событие D – «на протяжении месяца откажет хотя бы одна линия» можно записать как

.

По формулам сложения и умножения вероятностей

Ответ: 0,496.

2. На заводе 40% всей продукции изготавливается первым станком, остальное – вторым. В среднем 9 из 1000 деталей, изготовленных первым станком, оказываются бракованными, для второго станка этот показатель – одна бракованная деталь из 250. Случайно выбранная из всей данной продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена первым станком?

Решение:

Пусть событие А – случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Возможны 2 гипотезы:  – она изготовлена на 1-ом или 2-ом станке соответственно. По условию

.

Тогда по формуле полной вероятности

.

По формуле Байеса вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком:

.

Ответ: 0,4.

3. Автопарк предприятия состоит из 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автопарка, если для этого необходимо иметь на линии не меньше 8 машин.

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Ответ: 0,9274

4. В урне находятся 12 шаров, из них 8 белых. Наугад берут 4 шаров. Нужно составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выбранных белых шаров. Кроме того, построить полигон распределения вероятностей ДСВ Х; записать интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график; вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х; вычислить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Составим закон распределения:

Проверка:

.

Вероятности найдены верно. Запишем ряд распределения:

Х

0

1

2

3

4

Р

1/495

32/495

56/165

224/495

14/99

Полигон распределения частот:

Интегральная функция распределения F(x):

Построим ее график:

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение ДСВ Х:

Вычислим вероятность выполнения неравенства :

.

5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Необходимо:

Определить значение ;

Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;

Построить графики функций ;

Вычислить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Значение определим из условия :

.

Математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение :

Данная функция плотности распределения говорит о том, что Х имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда

Интегральная функция распределения:

Строим графики функций:

.

6. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид . Требуется:

Определить значение ;

Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;

Вычислить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Сравнивая заданную плотность распределения с плотностью нормально распределенной НСВ , находим, что , откуда . Итак, имеем:

.

Интегральная функция распределения данной НСВ, как величины, распределенной по нормальному закону, принимает вид:

,

Где  – функция Лапласа.

Вероятность того, что значения величины Х принадлежат интервалу (-0,75;0,25), вычисляется по формуле

7. В высшем учебном заведении проводилось тестирование студентов с целью выяснения ровня знаний по курсу высшей математики. Студенты, кроме ответов на предложенные вопросы, должны были указать, сколько времени каждый из них тратил на подготовку к тесту. Итогом тестирования оказалась генеральная совокупность данных объемом N = 600 с двумя числовыми признаками: результат тестирования в баллах (признак 1) и время, израсходованное на подготовку к тесту в часах (признак 2).

Нужно:

Создать индивидуальную выборочную совокупность данных (признаки 1 и 2) объемом П = 100 согласно указанному преподавателем индивидуального номера К І следующего правила: из генеральной совокупности выбрать 100 значений признаков 1 и 2 с последовательными номерами NN = К, К+5, К+10,...., К+495 (все значения признака 1 увеличить при этом на величину К);

После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд;

Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1;

Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднеквадратичное отклонение;

Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределено по нормальному закону (уровень значимости = 0,05);

При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые (20 + Q) Значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке; Q - Последняя цифра индивидуального номера К;

Для тех же (20 + Q) Первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем.

Решение:

После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд: данные уже упорядочены по возрастанию Х. Строим вариационный ряд:

Интервальный ряд:

Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1:

Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения:

А) выборочную среднюю:

Б) выборочную дисперсию:

В) выборочное среднеквадратичное отклонение:

.

Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределен по нормальному закону (уровень значимости = 0,05):

Составим расчетную таблицу:

Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:

,

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 8 – 3 = 5 находим критическую точку правосторонней области:

Так как нет оснований принимать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые 26 значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке.

Итак,

Найдем выборочное значение дисперсии:

Ищем критическое значение t при уровне значимости 0,95 и 26-1=25 степенях свободы t= 2,06. Тогда

Доверительный интервал для среднего:

Остальные доверительные интервалы:

Итак, для дисперсии доверительный интервал с вероятностью 0,95 (48,80; 151,189), для СКО (6,99; 12,30).

Для тех же 26 первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем

Составим расчетную таблицу:

Вычислим дисперсии:

Выборочные коэффициенты корреляции и детерминации:

.

Строим выборочное уравнение прямой линии регрессии У на х

Уравнение Х на У:

Строим графики:

Итак, полученное значение выборочного коэффициента корреляции 0,8121 достаточно близко к 1. Поэтому связь между Х и У считается тесной, о чем говорит и близость графиков линейных функций регрессии друг к другу.

 
Яндекс.Метрика
Наверх