Теория вероятности 07

(озо, финансово-экономический факультет,

Факультет управления)

Теория вероятностей

I.

1.  Из колоды в 36 карт вытаскивается две карты. Какова вероятность, что только одна из них будет пиковой масти?

Решение:

Рассмотрим событие А – вытащили карту пиковой масти. Всего карт такой масти 9 (36/4), на остальные части приходится 27 карт. Всего возможно два исхода – первой вытащили карту пиковой масти, второй вытащили карту другой масти и первой вытащили карту другой масти, а второй вытащили карту пиковой масти. Следовательно, искомая вероятность равна:

II.

На складе хранятся N изделий завода 1, M изделий – завода 2, K изделий завода 3. Вероятность получения бездефектного изделия на первом заводе – 0.9, на втором – 0.8, на третьем – 0.7.

А) Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.

Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе i?

Решение:

Всего изделий: 30 + 20 + 10 = 60

А) Вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.

Вероятность того что, изделие с первого завода: p(H1) = 30/60 = 0,5

Вероятность того что, изделие со второго завода: p(H2) = 20/60 = 0,33

Вероятность того что, изделие с третьего завода: p(H3) = 10/60 = 0,17

P = P(H1)*p1 + P(H2)*p2 + P(H3)*p3 = 0,5*0,9 + 0,33*0,8 + 0,17*0,7 = 0,833

Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе №2?

III.

1-3.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка = 0.9, для второго = 0.8. Найти вероятность того, что при Выстрелах стрелки одновременно попадут в мишень:

А) менее трех раз; б) не менее трех раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число парных попаданий при Выстрелах.

2.

Решение:

Вероятность одновременного попадания в мишень равна: p = 0,9*0,8 = 0,72

Исходные данные: p = 0.72, q = 1- p = 1 - 0.72 = 0.28

Формула Бернулли:

А) менее трех раз;

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит менее k раз равна:

P(x < 7) = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k-1)

P(0) = 0.287 = 0.000134929285

P(x < 3) = 0.000134929285 + 0.00243 + 0.01874 = 0.0213

Б) не менее трех раз;

P = 1 – P(x<3) = 1 - 0.0213 = 0.9787

С) хотя бы один раз;

Найдем вероятность того, что событие не наступит ни одного раза.

P0 = qn = 0.287 = 0.000134929285

Тогда вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз равна: P1 = 1 - P0 = 1 - 0.000134929285 = 0.999865070715

Д) найти наивероятнейшее число парных попаданий при 7 выстрелах.

Np – q ≤ k0 ≤ np + p

Причем:

А) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0.

Б) если число np – q – целое дробное, то существуют два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0 + 1.

В) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.

По условию, n = 7, p = 0.72, q = 0.28.

Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:

7*0.72 – 0.28 ≤ k0 ≤ 7*0.72 + 0.72

Или

4.76 ≤ k0 ≤ 5.76

Поскольку число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 5

IV.

При обследовании уставных фондов банков установлено, что N-я часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 500 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: A) не менее M; B) от M до K включительно.

Решение:

Доля банков в общей структуре: пятая часть, это p = 1/5 = 0,2 банков.

A) не менее 300;

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)

Где Ф(x) – функция Лапласа.

K1 = 300, k2 = 500.

P500(300 < x < 500) = Ф(44.72) - Ф(22.36) = 0.49999 - (0.49999) = 0

B) от 300 до 400 включительно.

K2 = 400, k1 = 300

P500(300 < x < 400) = Ф(33.54) - Ф(22.36) = 0.49999 - (0.49999) = 0

V.

В ящике содержится n деталей, среди которых k бракованных. Сборщик наудачу извлекает m деталей.

1.  Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: A) m бракованных; B) одна бракованная; C) две бракованные; D) хотя бы одна бракованная.

2.  Составить закон распределения случайной величины X– числа бракованных деталей среди извлеченных.

3.  Найти M(X), D(X),.

4.  Вычислить P(1<X<4)

Решение:

A) 4 бракованных;

Всего имеется 5 бракованных деталей. Последовательно вытаскиваем их:

Или

B) одна бракованная;

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 детали из 12:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди 4 деталей ровно 1 деталь дефектная):

Остальные 3 детали можно выбрать из 7:

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: 5*35 = 175

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: P(1) = 175/495 = 0,3535

C) две бракованные;

D) хотя бы одна бракованная.

Вероятность того, что нет дефектных деталей. X = 0.

Тогда вероятность того, что хотя бы одна бракованная составит:

P = 1 – P(0) = 1 – 0,70707 = 0,9293

2. Составим закон распределения P(x), X - числа бракованных деталей среди извлеченных.

Найдем вероятность появления трех бракованных изделий.

3. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 0*0.07 + 1*0.36 + 2*0.42 + 3*0.14 + 4*0.01 = 1.66

Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.

Дисперсия D[X].

D[X] = 02*0.07 + 12*0.36 + 22*0.42 + 32*0.14 + 42*0.01 - 1.662 = 0.704

Среднее квадратическое отклонение σ(x).

4. Функция распределения F(X).

F(x≤0) = 0

F(0< x ≤1) = 0.07

F(1< x ≤2) = 0.36 + 0.07 = 0.43

F(2< x ≤3) = 0.42 + 0.43 = 0.85

F(3< x ≤4) = 0.14 + 0.85 = 0.99

F(x>4) = 1

Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:

P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)

Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале 1 ≤ X < 4

P(1 ≤ X < 4) = F(4) - F(1) = 0.99 - 0.07 = 0.92

VI.

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Изобразить графики функции распределения F(x) и плотности распределения F(x). Найти вероятность попадания случайной величины в интервал

2.  ,

Решение:

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):

F(x) = dF(x)/dx = -1/2+x

Плотность распределения f(x):

0, x ≤ 1

-1/2+x, 1 < x < 2

0, x ≥ 2

Математическое ожидание.

Дисперсия.

График плотности распределения

График функции распределения

Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 1.5).

P(1 < x < 1,5) = F(1,5) – F(1) = (1.52-1.5)/2 - (12-1)/2 = 0.375

VII.

Известны математическое ожидание A и среднее квадратичное отклонение Нормально распределенной случайной величины X. Найти: A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал ; B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше C) Вычислить M(3X-2), D(3X-2).

Решение:

A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β);

Где Ф(x) — функция Лапласа

B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X - a| < δ, определяется так:

C) M(3X-2) = 3*M(X) – M(2) = 3*9-2 = 25

D(3X-2) = D(3X) – D(-2) = 32D(X) – 0 = 9*52 = 225

Математическая статистика

VIII.

1-10. Заданы среднее квадратичное отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки N. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания А с заданной надежностью γ = 0.95.

Решение:

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = γ

Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475

Tkp(γ) = (0.475) = 1.96

(18.31 - 3.92;18.31 + 3.92) = (14.39;22.23)

С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

IX.

1-10. Найти: 1) выборочную дисперсию; 2) выборочное среднее квадратичное отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты XI, а во второй строке – соответствующие частоты NIколичественного признака X).

Решение:

Таблица для расчета показателей.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Выборочная средняя взвешенная

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего).

Выборочная дисперсия

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 14.71 в среднем на 0.63

X.

1-10. Найти выборочное уравнение прямой

Регрессии X на Y по данной корреляционной таблице.

Решение:

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:

Выборочные средние:

Дисперсии:

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

σx = 5.09 и σy = 10.5

И ковариация:

Cov(x, y) = (10•30•2 + 15•30•6 + 15•40•4 + 20•40•4 + 20•50•7 + 25•50•35 + 30•50•8 + 20•60•2 + 25•60•10 + 30•60•8 + 25•70•5 + 30•70•6 + 35•70•3)/100 - 24.45 • 52.4 = 40.32

Определим коэффициент корреляции:

Запишем уравнения линий регрессии y(x):

И вычисляя, получаем:

Yx = 1.55 x + 14.41

Яндекс.Метрика