Теория вероятности 07
(озо, финансово-экономический факультет,
Факультет управления)
Теория вероятностей
I.
1. Из колоды в 36 карт вытаскивается две карты. Какова вероятность, что только одна из них будет пиковой масти?
Рассмотрим событие А – вытащили карту пиковой масти. Всего карт такой масти 9 (36/4), на остальные части приходится 27 карт. Всего возможно два исхода – первой вытащили карту пиковой масти, второй вытащили карту другой масти и первой вытащили карту другой масти, а второй вытащили карту пиковой масти. Следовательно, искомая вероятность равна:
II.
На складе хранятся N изделий завода 1, M изделий – завода 2, K изделий завода 3. Вероятность получения бездефектного изделия на первом заводе – 0.9, на втором – 0.8, на третьем – 0.7.
А) Найти вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.
Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе i?
Всего изделий: 30 + 20 + 10 = 60
А) Вероятность того, что извлеченное наудачу изделие будет бездефектным.
Вероятность того что, изделие с первого завода: p(H1) = 30/60 = 0,5
Вероятность того что, изделие со второго завода: p(H2) = 20/60 = 0,33
Вероятность того что, изделие с третьего завода: p(H3) = 10/60 = 0,17
P = P(H1)*p1 + P(H2)*p2 + P(H3)*p3 = 0,5*0,9 + 0,33*0,8 + 0,17*0,7 = 0,833
Б) Извлеченное наудачу изделие оказалось бездефектным. Какова вероятность, что оно изготовлено на заводе №2?
III.
1-3.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка = 0.9, для второго = 0.8. Найти вероятность того, что при Выстрелах стрелки одновременно попадут в мишень:
А) менее трех раз; б) не менее трех раз; с) хотя бы один раз; д) найти наивероятнейшее число парных попаданий при Выстрелах.
2.
Решение:
Вероятность одновременного попадания в мишень равна: p = 0,9*0,8 = 0,72
Исходные данные: p = 0.72, q = 1- p = 1 - 0.72 = 0.28
Формула Бернулли:
А) менее трех раз;
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит менее k раз равна:
P(x < 7) = Pn(0) + Pn(1) + ... + Pn(k-1)
P(0) = 0.287 = 0.000134929285
P(x < 3) = 0.000134929285 + 0.00243 + 0.01874 = 0.0213
Б) не менее трех раз;
P = 1 – P(x<3) = 1 - 0.0213 = 0.9787
С) хотя бы один раз;
Найдем вероятность того, что событие не наступит ни одного раза.
P0 = qn = 0.287 = 0.000134929285
Тогда вероятность того, что событие наступит хотя бы один раз равна: P1 = 1 - P0 = 1 - 0.000134929285 = 0.999865070715
Д) найти наивероятнейшее число парных попаданий при 7 выстрелах.
Np – q ≤ k0 ≤ np + p
Причем:
А) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0.
Б) если число np – q – целое дробное, то существуют два наивероятнейших числа, а именно k0 и k0 + 1.
В) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.
По условию, n = 7, p = 0.72, q = 0.28.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:
7*0.72 – 0.28 ≤ k0 ≤ 7*0.72 + 0.72
Или
4.76 ≤ k0 ≤ 5.76
Поскольку число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 = 5
IV.
При обследовании уставных фондов банков установлено, что N-я часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 500 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: A) не менее M; B) от M до K включительно.
Решение:
Доля банков в общей структуре: пятая часть, это p = 1/5 = 0,2 банков.
A) не менее 300;
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Pn(k1,k2) = Ф(x’’) – Ф(x’)
Где Ф(x) – функция Лапласа.
K1 = 300, k2 = 500.
P500(300 < x < 500) = Ф(44.72) - Ф(22.36) = 0.49999 - (0.49999) = 0
B) от 300 до 400 включительно.
K2 = 400, k1 = 300
P500(300 < x < 400) = Ф(33.54) - Ф(22.36) = 0.49999 - (0.49999) = 0
V.
В ящике содержится n деталей, среди которых k бракованных. Сборщик наудачу извлекает m деталей.
1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: A) m бракованных; B) одна бракованная; C) две бракованные; D) хотя бы одна бракованная.
2. Составить закон распределения случайной величины X– числа бракованных деталей среди извлеченных.
3. Найти M(X), D(X),.
4. Вычислить P(1<X<4)
Решение:
A) 4 бракованных;
Всего имеется 5 бракованных деталей. Последовательно вытаскиваем их:
Или
B) одна бракованная;
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 детали из 12:
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди 4 деталей ровно 1 деталь дефектная):
Остальные 3 детали можно выбрать из 7:
Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: 5*35 = 175
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: P(1) = 175/495 = 0,3535
C) две бракованные;
D) хотя бы одна бракованная.
Вероятность того, что нет дефектных деталей. X = 0.
Тогда вероятность того, что хотя бы одна бракованная составит:
P = 1 – P(0) = 1 – 0,70707 = 0,9293
2. Составим закон распределения P(x), X - числа бракованных деталей среди извлеченных.
Найдем вероятность появления трех бракованных изделий.
3. Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.07 + 1*0.36 + 2*0.42 + 3*0.14 + 4*0.01 = 1.66
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 02*0.07 + 12*0.36 + 22*0.42 + 32*0.14 + 42*0.01 - 1.662 = 0.704
Среднее квадратическое отклонение σ(x).
4. Функция распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0< x ≤1) = 0.07
F(1< x ≤2) = 0.36 + 0.07 = 0.43
F(2< x ≤3) = 0.42 + 0.43 = 0.85
F(3< x ≤4) = 0.14 + 0.85 = 0.99
F(x>4) = 1
Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:
P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале 1 ≤ X < 4
P(1 ≤ X < 4) = F(4) - F(1) = 0.99 - 0.07 = 0.92
VI.
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения F(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Изобразить графики функции распределения F(x) и плотности распределения F(x). Найти вероятность попадания случайной величины в интервал
2. ,
Решение:
Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):
F(x) = dF(x)/dx = -1/2+x
Плотность распределения f(x):
0, x ≤ 1
-1/2+x, 1 < x < 2
0, x ≥ 2
Математическое ожидание.
Дисперсия.
График плотности распределения
График функции распределения
Вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 1.5).
P(1 < x < 1,5) = F(1,5) – F(1) = (1.52-1.5)/2 - (12-1)/2 = 0.375
VII.
Известны математическое ожидание A и среднее квадратичное отклонение Нормально распределенной случайной величины X. Найти: A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал ; B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше C) Вычислить M(3X-2), D(3X-2).
Решение:
A) вероятность попадания этой величины в заданный интервал (α, β);
Где Ф(x) — функция Лапласа
B) вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет некоторого положительного числа δ, то есть |X - a| < δ, определяется так:
C) M(3X-2) = 3*M(X) – M(2) = 3*9-2 = 25
D(3X-2) = D(3X) – D(-2) = 32D(X) – 0 = 9*52 = 225
Математическая статистика
VIII.
1-10. Заданы среднее квадратичное отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки N. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания А с заданной надежностью γ = 0.95.
Решение:
Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.
В этом случае 2Ф(tkp) = γ
Ф(tkp) = γ/2 = 0.95/2 = 0.475
По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.475
Tkp(γ) = (0.475) = 1.96
(18.31 - 3.92;18.31 + 3.92) = (14.39;22.23)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
IX.
1-10. Найти: 1) выборочную дисперсию; 2) выборочное среднее квадратичное отклонение по данному статистическому распределению выборки (в первой строке указаны выборочные варианты XI, а во второй строке – соответствующие частоты NIколичественного признака X).
Решение:
Таблица для расчета показателей.
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Выборочная средняя взвешенная
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего).
Выборочная дисперсия
Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 14.71 в среднем на 0.63
X.
1-10. Найти выборочное уравнение прямой
Регрессии X на Y по данной корреляционной таблице.
Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Выборочные средние:
Дисперсии:
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 5.09 и σy = 10.5
И ковариация:
Cov(x, y) = (10•30•2 + 15•30•6 + 15•40•4 + 20•40•4 + 20•50•7 + 25•50•35 + 30•50•8 + 20•60•2 + 25•60•10 + 30•60•8 + 25•70•5 + 30•70•6 + 35•70•3)/100 - 24.45 • 52.4 = 40.32
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
И вычисляя, получаем:
Yx = 1.55 x + 14.41
< Предыдущая | Следующая > |
---|