Теория вероятности (6 задач)

Вариант 5

Задача 1. Бросают два кубика. Суммируют число очков, выпавших на верхних гранях кубиков. Построить множество элементарных событий W и его подмножество, соответствующие указанному событию А:

А = {сумма очков больше 7}.

Найти вероятность события А. Построить подмножество, соответствующие событию (дополнение А). Найти его вероятность.

Решение. При бросании двух кубиков получим 36 элементарных событий. При этом опыте элементарным событием будет пара чисел (A, B), выпавших на первом и втором кубиках соответственно. Обозначим это событие . Тогда множество элементарных событий W имеет вид:

W = .

Событию A благоприятствуют 15 исходов , поэтому

А = .

Используя формулу классической вероятности, получаем:

Построим подмножество, соответствующие событию :

= .

Вероятность

Задача 2. Два лица договорились встретиться в определенном месте между 16 и 17, причем пришедший первым ждет другого в течение 15 мин., после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим момент прихода первого лица через , а момент прихода второго лица через . На плоскости в качестве единицы масштаба выберем час. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 1. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство , т. к. 15 мин. составляют часа.

Исходы, благоприятствующие встрече, изображены в заштрихованной области.

Используем геометрическую вероятность: искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата:

Ответ: 0,4375.

Задача 3. В одном сосуде находятся 5 белых и 6 черных шаров, во втором – 9 белых и 6 черных. Бросают два кубика. Если сумма очков, выпавших на верхних гранях меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 – из второго. Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10?

Решение. Событие А – вынут черный шар.

Гипотезы:

сумма очков, выпавших на верхних гранях меньше 10;

сумма очков, выпавших на верхних гранях больше или равна 10.

Вероятности гипотез:

Условные вероятности:

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Используя формулу Байеса, можем узнать вероятность того, что сумма очков была не меньше 10, и при этом был вынут черный шар.

Ответ: 0,128.

Задача 4. Стоматологическая клиника распространяет рекламные листки у входа в метро. Опыт показывает, что в одном случае из тысячи следует обращение в клинику. Найти вероятность того, что при распространении 50 тыс. листков число обращений будет: а) равно 60; б) находится в границах от 55 до 65.

Решение. а) Используем локальную теорему Муавра – Лапласа:

Где .

Имеем:

Найдем значение Х:

По таблице находим: . Искомая вероятность

Б) Используем интегральную теорему Муавра – Лапласа:

Где функция Лапласа.

Имеем:

Находим:

Искомая вероятность равна:

Ответ: а) 0,0206; б) 0,2219.

Задача 5. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей (см. график). Построить график функции распределения вероятностей, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

A

B

C

D

1

1,5

2,2

0.6

Решение. Исходя из вида графика, плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет следующее выражение:

Известно свойство плотности распределения случайной величины Х:

Получаем:

Таким образом:

По определению функция распределения вероятностей .

Тогда при

При :

При :

При

Следовательно, интегральная функция F(X) имеет вид:

Построим график данной функции:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Задача 6. Закон распределения двумерной случайной величины (Х, Y) задан таблицей:

Y

X

0

1

2

3

-1

0,02

0,03

0,09

0,01

0

0,04

0,2

0,16

0,1

1

0,05

0,1

0,15

0,05

Найти условные законы распределения случайной величины Х при условии Y = 1 и случайной величины Y при условии Х = 0.

Решение. Определим закон распределения составляющей Х И её числовые характеристики.

Х

-1

0

1

Р

0,15

0,5

0,35

Определим закон распределения составляющей Y И её числовые характеристики.

Y

0

1

2

3

Р

0,11

0,33

0,4

0,16

Определим условное распределение ():

Найденные вероятности запишем в виде таблицы:

Х

-1

0

1

Р( )

0,091

0,606

0,303

Определим условное распределение ():

Найденные вероятности запишем в виде таблицы:

Y

0

1

2

3

Р( )

0,08

0,4

0,32

0,2

Яндекс.Метрика