Теория вероятности (22 задачи)

Решение

Число всевозможных элементарных исходов – количество способов разделить 16 студентов на 2 равные группы (то есть выбрать из 16 человек 8)

Число благоприятствующих исходов – число исходов, при котором в каждой группе будет по 3 студентки (Из 6 студенток нужно выбрать 3 - И из 10 студентов 5 - – по правилу умножения вероятностей независимых событий )

Тогда, по классическому определению вероятности

Ответ:

Решение

Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 4 журнала. Поскольку порядок фруктов безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным (и бесповторным). Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 4 журнала из 8, т. е. числу сочетаний . Число благоприятствующих исходов равно числу способов выбора 3 или 4 журнала в переплёте из имеющихся 4, т. е.

Тогда искомая вероятность

.

Ответ:

Решение

Введем обозначения для всех возможных в данной задаче случайных событий.

Пусть A - искомое событие (безотказная работа всей цепи);

C – работа верхнего участка, состоящего из элементов 1,2;

- работа левого контура (элементы 1-3);

Тогда - вероятность отказа верхнего участка

- вероятность отказа левого участка

- вероятность безотказной работы левого участка

- искомая вероятность надёжной работы всей сети

Тогда

Ответ:

Решение

Пусть событие А - взят красный шар

Тогда после извлечения 3 шаров из двух урн возможны ситуации:

Н1 – все 3 шара красные

Н2 – все 3 шара жёлтые

Н3 - один жёлтый, два красных. (жёлтый из первой урны или жёлтый из второй)

Н3 - один красный, два жёлтых. (красный из первой урны или красный из второй)

Найдём вероятности этих гипотез:

,

Тогда условные вероятности:

, , ,

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности

В нашем случае

Ответ:

Решение

Используем схему Бернулли. Здесь n = 12, p = 0, 4, q =1-0,4= 0, 6. Тогда по формуле или в нашем случае

Следовательно, наиболее вероятное число заявок

Вероятность 5 заявок из 12 равна

Найдём вероятность того, что поступит не более 9 заявок найдём используя вероятность противоположного события, тогда искомая вероятность равна

Ответ:

Решение

Так как n = 200 – велико, то в данном случае применяем локальную формулу Лапласа:

, где .

1)  По условию задачи , , , .

Вычислим .

По таблице находим =0,0021.

Теперь вычислим искомую вероятность

.

2)  Необходимо найти вероятность того, что система не потребует ремонта по истечению заданого времени работы. То есть нужно найти вероятность того, что из строя выйдут менее 20 предохранителей

Используем интегральную формулу Лапласа:

= Ф(х´´) – Ф(х´), где х´ = ; х´´ = ,

т. к. , , , , имеем

Х´ = ; х´´ = .

По таблицам найдем значения

Ф(-3,2)=-Ф(3,2)=-0,49931; Ф(2,9)=0,49813.

Тогда искомая вероятность будет

(0,19) = Ф(2,9) – Ф(- 3,2) = 0,49931 + 0,49813 0,99744.

Ответ: , (0,19) 0,99744.

Решение

Дискретная случайная величина X — число деталей второго сорта среди отобранных — имеет значения: 0;1; 2; 3. Так как среди деталей только 3 второго сорта, а отбирают 4 детали, то одна деталь первго сорта будет всегда отобрана.

Найдем вероятность того, что среди 4 отобранных деталей х второго сорта.

Пусть событие А — «из отобранных 4 деталей х второго сорта». Р(А) =m/n, где n равно общему числу исходов (способов),   которыми   можно выбрать 4 детали из 8: 

Вычислим  число  исходов  m,  благоприятствующих появлению события А.

Так как деталей второго сорта 3,а из них выбирают х деталей, то

 — число способов, которыми из 3 деталей выбирают х деталей.

Оставшееся количество деталей, а именно (4-х), должно быть выбрано из 5 деталей первого сорта. Таким образом,

— общее число способов отбора деталей первого сорта

— число исходов, благоприятствующих событию А

 т. е.

Составим закон распределения дискретной случайной величины X:

Контроль: +++=1

Искомый закон распределения X:

X

0

1

2

3

P

Решение

Так как сумма вероятностей возможных значений случайной вели-чины равна единице, то

Найдём математическое ожидание по формуле

Тогда, используя свойства математического ожиидания,

Используем свойства дисперсии,

Тогда

Ответ: ,

Решение

Пусть A - искомое событие, - событие, состоящее в том, что не более двух элементов в год откажут (или 0 или 1, или 2).

N = 800 - велико, m = np = 4 < 10.

Применяя формулу Пуассона и теорему сложения вероятностей для

Несовместных событий, найдем

Следовательно,

Ответ: ,

Решение

Значение a найдем из условия нормировки:

Следовательно

A=1;

Тогда

Математическое ожидание случайной величины X:

Дисперсия случайной величины X:

Известно, что F(x)=

Поэтому,

Если х<2, то F(x)==0;

Если 1≤х≤2, то

Если х>2, то F(x)= 1

Таким образом,

Решение

Предварительно найдем неизвестный параметр нор-мального распределения σ из условия или

Откуда И по таблицам функции Лапласа находим

Поэтому Воспользуемся формулой .

По условию . Поэтому Или

По таблице функции Лапласа находим .

Следовательно, или

По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины

Деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале

, то есть , откуда

Решение

Число всевозможных элементарных исходов – количество способов разделить 18 деталей на 2 равные группы (то есть выбрАть из 18 деталей 9)

Число благоприятствующих исходов – число исходов, при котором в каждой группе будет по 3 окрашеных детали (Из 6 окрашеных деталей нужно выбрать 3 - И из 12 неокрашеных деталей 6 - – по правилу умножения вероятностей независимых событий )

Тогда, по классическому определению вероятности

Ответ:

Решение

Вероятность того, что нужная деталь находится в более чем двух коробках равна вероятности что деталь находится или во всех коробках или в каких-либо 3х.

По правилу умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что нужная деталь содержится во всех коробках равна: (обозначили )

Для того чтобы деталь находилась в трёх из четырёх коробках возможны варианты:

А) Нужная деталь находится в 1й, 2й, 3й коробке, а в 4й нужной детали нет, то есть . ( - вероятность противоположного события, то есть, вероятность того, что нужной детали в 4й коробке нет)

В) Нужная деталь находится в 1й, 2й, 4й коробке, а в 3й нужной детали нет, то есть .

С) Нужная деталь находится в 1й, 3й, 4й коробке, а во 2й нужной детали нет, то есть .

D) Нужная деталь находится в 1й, 3й, 4й коробке, а во 2й нужной детали нет, то есть .

Тогда, по правилу сложения вероятностей независимых событий, искомая вероятность:

Ответ:

Решение

Введем обозначения для всех возможных в данной задаче случайных событий.

Пусть A - искомое событие (безотказная работа всей цепи);

C – работа всего верхнего участка (2 параллельно соединённых элемента);

- работа всего нижнего участка;

- работа нижнего правого учаска (3 параллельно соединённых элемента);

Тогда - вероятность отказа верхнего участка

- вероятность отказа правого нижнего участка

- вероятность безотказной работы правого нижнего участка

- вероятность надёжной работы нижнего участка сети.

- вероятность отказа работы нижнего участка сети.

Тогда

- вероятность отказа всей сети.

- вероятность безотказной работы всей сети.

В нашем случае:

Ответ:

Решение

Пусть событие А - взятая из партии лампочка бракованная.

Рассмотрим гипотезы:

- взятая лампочка изготовлена заводом 1;

- взятая лампочка изготовлена заводом 2;

- взятая лампочка изготовлена заводом 3.

Эти события попарно несовместимы и одно из них обязательно происходит. Из условия следует, что

Условные вероятности события А будут:

Для определения вероятности события А применяем формулу полной вероятности

Ответ:

Решение

Вероятность искомого события найдется по формуле Бернулли

При n = 4, р = 0,4 и q=1-р=0,6,

Искомая вероятность равна вероятности того, что в течение часа внимания рабочего потребуют 3 или 4 станка

Тогда, по формуле Бернулли, ,

Окончательно,

Ответ:

Решение

Б) Вероятность того, что ровно 190 деталей окажутся стандартными

Так как n = 210 – велико, то в данном случае применяем локальную формулу Лапласа:

, где .

По условию задачи , , , .

Вычислим .

По таблице находим .

Теперь вычислим искомую вероятность

.

А) Найдём вероятность того, что более 190 деталей окажутся стандартными.

Используем интегральную формулу Лапласа:

= Ф(х´´) – Ф(х´), где х´ = ; х´´ = ,

т. к. , , , , имеем

Х´ = ; х´´ = .

По таблицам найдем значения Ф(0,46)=0,17724; Ф(4,83)=0,49999.

Тогда искомая вероятность будет

(191,210) = Ф(4,83) – Ф(0,46) = 0,49999 - 0,17724 0,32275.

Ответ: (191,210)0,32275, .

Решение

Отбор каждой детали — независимые между собой события, поэтому применима формула  Бернулли.

Составим биномиальный закон распределения случайной ветчины X:

В нашем случае:

Дискретная случайная величина X — число окрашеных деталей среди отобранных — принимает значения: 0; 1; 2; 3.

Так как в партии 80% окрашеных деталей, то вероятность появления случайной величины X p= 0,8, т. е. q=1-р=0,2.

Составим закон распределения дискретной случайной величины X:

Контроль: + + + =1

Искомый закон распределения X:

X

0

1

2

3

P

Решение

Так как сумма вероятностей возможных значений случайной вели-чины равна единице, то

Найдём математическое ожидание по формуле

Тогда, используя свойства математического ожиидания,

Используем свойства дисперсии,

Тогда

Ответ: ,

Решение

Пусть A - искомое событие, - событие, состоящее в том, что более двух изделий выдержат испытания (или 0 или 1, или 2).

N = 5000 - велико, m = np = 5 < 10.

Применяя формулу Пуассона и теорему сложения вероятностей для

Несовместных событий, найдем

Следовательно,

Ответ:

Решение

Значение a найдем из условия нормировки:

Следовательно

С=0,5;

Тогда

Математическое ожидание случайной величины X:

Дисперсия случайной величины X:

Известно, что F(x)=

Поэтому,

Если х<-1, то F(x)==0;

Если -1≤х≤1, то

Если х>1, то F(x)= 1

Таким образом,

Решение

Воспользуемся формулой .

По условию . Поэтому Или

По таблице функции Лапласа находим .

Следовательно, или

По условию . Поэтому Или

По таблице функции Лапласа находим .

Следовательно, или

По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины

Деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале

, то есть , откуда

Яндекс.Метрика