Теория вероятности (16 заданий)

Задание 1.

Вероятность того, что в страховую компанию (СК) в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна (15+к)/100. Для второго клиента вероятность такого обращения равна. (20+к)/100. Для третьего клиента -(10+к)/100. Найти вероятность того, что в течение года в СК обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов - события независимые.

Решение.

Из условия: р1=0,15 –вероятность обращения с иском первого клиента.

Р2=0,2 –вероятность обращения с иском второго клиента.

Р3=0,1 –вероятность обращения с иском третьего клиента.

Искомая вероятность того, что в течение года в СК обратится с иском хотя бы один клиент: Р(А)=1-q1*q2*q3, где

Q1=1-p1 – вероятность того, что первый клиент не обратится с иском;

Q2=1-p2 - вероятность того, что второй клиент не обратится с иском;

Q3=1-p3 - вероятность того, что третий клиент не обратится с иском;

Имеем Р(А)=1-0,85*0,8*0,9=0,388.

Ответ: Р(А)=0,388.

Задание 2.

В магазин поступают телевизоры с трех заводов: (30+к)% с первого завода, (25+к)% - со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает (20+к)% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, (10+k)%, а третий - (15+к)%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор?

Решение.

Из условия с первого завода поступает 30% телевизоров, со второго – 25%, с третьего 100%-55%=45%.

Первый завод выпускает 20% дефектных, второй 10% дефектных, третий – 15%.

Обозначим через А событие – приобретён исправный телевизор. Возможны следующие гипотезы:

В1 – телевизор с первого завода. Р(В1)=0,3.

В2 – телевизор с первого завода. Р(В2)=0,25.

В3 – телевизор с первого завода. Р(В3)=0,45.

Условная вероятность того, что приобретён исправный телевизор и он с первого завода РВ1(А)=1-0,2=0,8. Аналогично: РВ2(А)=1-0,1=0,9, РВ3(А)=1-0,15=0,85.

Искомую вероятность того, что приобретён исправный телевизор, находим по формуле полной вероятности. Р(А)= Р(В1)* РВ1(А)+ Р(В2)* РВ2(А)+ Р(В3)* РВ3(А)=0,3*0,8+0,25*0,9+0,45*0,85=0,8475.

Вероятность того, что в телевизоре есть дефект .

Вероятность того, что дефектный телевизор сделан первым заводом Р1=0,3934. Аналогично

Р2=0,1639.

Р3=0,4426.

Ответ: 1) Р(А)=0,8475. 2) на третьем.

Задание 3.

При данном технологическом процессе (75+к)% всей продукции - 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число (м0) первосортных изделий из (20О+10к) изделий и вероятность этого события.

Решение.

Из условия вероятность изготовления продукции1-го сорта р=0,75. Всего изделий n=200 штук. Наивероятнейшее число (м0) первосортных изделий определим из двойного неравенства:

Np-q ≤ м0 < np+p, где q=1-p=0.25

200*0.75-0.25 ≤ м0 < 200*0.75+0.75

149.75 ≤ м0 < 150.75. Следовательно, м0=150

Вероятность появления k=150 первосортных изделий из общего количества n=200 и p=0,75:

- Локальная теорема Лапласа. Где х=; х=0

По таблице: . Следовательно, Р200(150)=

Ответ: м0=150, Р200(150)=0,1633.

Задание 4.

Для полготовки к экзамену студенту нужна определенная книга, которая может находиться в каждой из 4-х доступных студенту библиотек с вероятностью (0,3+к/100). Составить закон распределения числа посещаемых библиотек. Обход прекращается после получения нужной книги или посещения всех четырех библиотек. Найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию этой случайной величины D(x).

Решение.

Из условия вероятность появления книги в каждой из 4х библиотек р=0,3.

Дискретная случайная величина Х (число посещаемых библиотек) имеет следующие возможные значения. х1=0, х2=1, х3=3, х4=3, х5=4.

Вероятность возможного значения х=k (k – число появлений события) находим по формуле Бернулли: Рn=Сnkpkqn-k

N=4; p=0.3; q=0.7;

P(x=3)=C40*0.74=0.2401,

P(x=0)=C41*0.3*0.73=0.4116,

P(x=1)=C42*0.32*0.72=0.2646,

P(x=2)=C43*0.330.71=0.0756,

P(x=4)=C44*0.34=0.0081.

Проверим: 0,2401+0,4116+0,2646+0,0756+0,0081=1

Закон распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Математическое ожидание М(х)=

М(х)=0*0,2401+1*0,4116+2,2646+3*0,0756+4*0,0081=1,2.

Дисперсия D(х)=M(x2)-[M(x)]2

M(x2)=02*0.2401+12*0.4116+4*0.2646+9*0.0756+16*0.0081=2.28

D(х)=2.28-1.22=0.84.

Ответ: М(х)= 1,2, D(х)=0.84, Закон распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,2401	0,4116	0,2646	0,0756	0,0081

Задание 5.

В нормально распределенной совокупности (15+к)% значений X меньше (11+к) и (45+к)% значений X больше (17+к). Найти параметры этой совокупности - математическое ожидание И среднее квадратическое отклонение .

Решение.

Из условия Р(х<11)=0,15, Р(х>17)=0,45. Следовательно, Р(11≤х≤17)=1-0,15*0,45=0,4

P()=0.4. Но P()=2=0,4 Имеем 2

,

Ответ:

Задание 6.

На фирме заработная плата X сотрудников (в у. е.) задана таблицей:

Хmin	300	З10+І0k	320+20k	330+30k	340+40k	350+50k
Хmax	310+10k	320+20k	330+30k	340+40k	350+50k	360+60k
M	10	20	30	25	10	5

Найти: среднюю заработную плату на фирме и среднее квадратическое отклонение S, учитывая количество персонала, с заработной платой в заданном интервале m.

Решение.

В качестве вариант примем середины интервалов. Имеем:

Хi	305	315	325	335	345	355
Ni	10	20	30	25	10	5

Средняя заработная плата: . (у. е.)

Выборочная дисперсия

S2= S=

Ответ: =327 (у. е.), S=16.77.

Задание 7.

В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены опенки: =(1500+100k), S=(200+10k). В предположении о нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.

Решение.

Вероятность попадання CВ x на отрезок [b, c] P(b≤x≤c)=P(≤≤)=P(≤Z≤)=()-()

В нашем случае: b=1200; c=1800; S=200; =1500.

Р(-1,5≤х≤1,5)= (1,5)- (-1,5)=2*(1,5)=2*0,4332=0,8664, т. е. доля семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800 составляет 86% или 86 семей.

Ответ: 86%.

Задание 8.

Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у. е.) составил: (10+k), (15+k), (20+k), (17+k). х5 - не известно. Учитывая, что среднее значение =( 16+k). найти выборочную дисперсию S2.

Решение.

По условию х1=10, х2=15, х3=20, х4=17, =16, n=5.

Так как , то = х5=5- (х1+х2+х3+х4)

Выборочная дисперсия

Найдём исправленную дисперсию S2=. В данном случае S2=

Ответ: S2=14,5.

Задание 9.

По данным 17 сотрудником фирмы, где работает (200+10k) человек, среднемесячная заработная плата составила (300+10k) у. е. При S=(70+k) у. е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение.

По условию на фирме работает 200 человек. Количество опрошенных сотрудников n=17. Среднемесячная зарплата 300 у. е. при среднем квадратичном отклонении S=70 у. е. Имеем 98% доверительный интервал. =300.

При k=n-1=16 и p==1-0.98=0.02. Найдём по таблице t0.02=2.583. Доверительный интервал: - < a < +

300- < a < 300 +

256.15 < a < 343.85.

Тогда доверительный интервал для всех работающих сотрудников (200*256,15;200*343,85), а следовательно минимальная сумма 51230 у. е.

Ответ: 51230 у. е.

Задание 10.

С целью размещения рекламы опрошено (400+10k) телезрителей, из которых данную передачу смотрят (150+k) человек. С доверительной вероятностью 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

Решение.

Всего зрителей, которые опрошены 400. Передачу смотрят m=150. Доверительная вероятность . Так как n=400 достаточно большое, то воспользуемся приближенной формулой для определения границ доверительного интервала

Р1 < р < р2, где р1=, р2=, где =- относительная частота. t найдём из уравнения . По таблице: t1.695.

P1=0.375-1.6950.334, p2=0.375+1.6950,416

0.334 < р < 0,416 количество жителей, охваченных рекламой лежит в промежутке (134;166) В лучшем случае охвачено 166 чел. или 41,6%.

Ответ: 41.6%.

Задание 11.

Согласно техническим данным автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найдено: средний расход бензина на 100 км =(10+k/1O) л и среднее квадратическое отклонение S=(1+0,lk) л. Проверить справедливость рекламы при 0.05.

Решение.

По условию =10, S=1. Проведено 10 испытаний. 0.05.

Будем считать что гипотеза H0 : a=8, (a0=8), а гипотеза H1 : a1>8.

Используем статистику , a0=8. В нашем случае =26,32

. Так как Z < , то гипотезу H0 отвергаем. реклама не справедлива.

Ответ: реклама не справедлива.

Задание 12.

Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этoro утверждения при 0.05, если из (300+10k) опрошенных услугами этой фирмы пользуются (100+10k) человек.

Решение.

Будем считать что гипотеза H0: р0=0,4, а гипотеза H1 : р10,4. n=300.

N*p0 > 5, n*(1-p0) > 0, поэтому для проверки гипотезы H0 используем статистику Z=, , Z=, , ==1,95

> гипотезу H0 отвергаем. Утверждение несправедливо.

Ответ: утверждение несправедливо.

Задание 13.

Сравнить существующий технологический процесс по себестоимости: n1=(5+k), =(13+k), Sx2=(l+k) с новым процессом: n2=(8+k), =(9+k), Sy2=(2+k) при 0=0,05. Целесообразно ли вводить новую технологию?

Решение.

N1=5, n2=8, =13, Sx2=1, Sy2=2, = 9. По условию генеральные дисперсии неизвестны и неизвестно, равны ли они. Поэтому прежде чем сравнивать генеральные средние, проверим гипотезу : = , приняв в качестве альтернативной : > .

Согласно F-критерию вычислим F=. По таблице при k1=n1-1=4; k2=n2-1=7

Так как < 4.12 гипотезу о равенстве генеральных дисперсий принимаем. Проверим гипотезу : а1=а2 , приняв в качестве альтернативной гипотезу

: а1>а2.

S2= S2=1.6364

T(n1+n2-2)===5.4847

= t01=1.8, так как t(n1+n2-2) > (5.4847>1.8), то гипотезу Отвергаем и принимаем гипотезу себестоимость снижается и новую технологию вводить целесообразно.

Ответ: да.

Задание 14.

Из (200+10k) задач по теории вероятностей студенты решили (110+10k) задач, а из (300+20k) задач по математической статистике они решили (140+30k) задач. Можно ли при 0.05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?

Решение.

Составим таблицу

Предмет	Задачи	Всего
Решено	Не решено
Теория вероятности	M11=110	M12=90	N1= n1*=200
Математическая статистика.	M21=140	M22=160	N2= n2*=300
Всего	N*1=250	N*2=250	N=50

В задаче требуется проверить гипотезу об однородности двух выборок (l=2), причём каждая из этих выборок разбита на v=2 группы, то есть требуется проверить гипотезу : р11=р21 и р12=р22, где р11 (р21) – вероятность решения задач по теории вероятности (математической статистике), а р12 (р22) – вероятность того, что задача не решена по теории вероятности (математической статистике). Так как р12= 1- р11, а р22= 1- р21, то сформированная гипотеза равносильна гипотезе : р11=р21. Проверим её с помощью критерия . Если : р11=р21 верна, то ожидаемые частоты будут такими:

= n1** n*1/n=200*250/500=100;

= n2** n*1/n=300*250/500=150;

= n1** n*2/n=200*250/500=100;

= n2** n*2/n=300*250/500=150;

Все частоты > 5. Вычислим ==3,333.

По таблице при k=(l-1)(v-1)=(2-1)(2-1)=1 и р=0,05 найдём =3,84.

Так как =3,333 < 3.84, то гипотезу Принимаем, то есть можно утверждать, что оба раздела усвоены одинаково

Ответ: можно.

Задание 15.

Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (X) и сбережениям (Y) дало результаты: средний душевой доход =(120+k) у. е., среднее квадратическое отклонение дохода Sх=(40+k) у. е., средние сбережения =(30+k) у. е., среднее квадратическое отклонение сбережений Sy=(40+k) у. е., среднее произведение этих величин =(3700+k) (у. e.)2. При уровне значимости 0.05 проверить наличие линейной корреляционной связи между переменными X и Y.

Решение.

N=27, =120, Sx=40, Sy=40, = 30, =3700, 0.05.

Коэффициент ковариации cov (x, y) = - *. Имеем cov (x, y) = 3700 - 120*30 = 100

Коэффициент корреляции P (x, y) = . ИмеемP (x, y)=.

Проверим нулевую гипотезу : pг=0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Если нулевая гипотеза принимается, в противном случае X и Y коррелированы. Конкурирующая гипотеза : pг0. Вычислим наблюдаемое значение критерия Тнабл=, так как n=27, то число степенем свободы k=n-2=25

Тнабл=0,3131.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, на уровне значимости 0.05 и числе степеней свободы k=25 находим критическую точку двусторонней критической области. tкр(0,02;25)=2,06. Так как Тнабл < tкр то нет смысла отвергнуть нулевую гипотезу. X и Y не коррелированны.

Ответ: не коррелируемы.

Задание 16.

По данным задачи 15 построить линейную модель регрессии зависимости сбережений Y от среднего душевою дохода X и найти точечную оценку сбережений при величине сбережений 130 у. е. (X =130)

Решение.

Построим линейную модель регрессии зависимости сбережений Y от среднего душевого дохода X. Уравнение прямой линии регрессии имеет вид

Y - = p . Имеем Y – 30 = 0,0625 (x - 120);

Y=0.0625x + 22.5.

Тогда Y(X=130)=53.125.

Ответ: Y=0.0625x + 22.5, Y(X=130)=53.125.

< Предыдущая		Следующая >