Теория вероятности 11

Вариант 1

5. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Необходимо:

Определить значение ;

Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;

Построить графики функций ;

Вычислить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Значение определим из условия :

.

Математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение :

Данная функция плотности распределения говорит о том, что Х имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда

Интегральная функция распределения:

Строим графики функций:

.

6. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид . Требуется:

Определить значение ;

Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;

Найти интегральную функцию распределения вероятностей ;

Вычислить вероятность выполнения неравенства .

Решение:

Сравнивая заданную плотность распределения с плотностью нормально распределенной НСВ , находим, что , откуда . Итак, имеем:

.

Интегральная функция распределения данной НСВ, как величины, распределенной по нормальному закону, принимает вид:

,

Где  – функция Лапласа.

Вероятность того, что значения величины Х принадлежат интервалу (-0,75;0,25), вычисляется по формуле

7. В высшем учебном заведении проводилось тестирование студентов с целью выяснения ровня знаний по курсу высшей математики. Студенты, кроме ответов на предложенные вопросы, должны были указать, сколько времени каждый из них тратил на подготовку к тесту. Итогом тестирования оказалась генеральная совокупность данных объемом N = 600 с двумя числовыми признаками: результат тестирования в баллах (признак 1) и время, израсходованное на подготовку к тесту в часах (признак 2).

Нужно:

Создать индивидуальную выборочную совокупность данных (признаки 1 и 2) объемом П = 100 согласно указанному преподавателем индивидуального номера К І следующего правила: из генеральной совокупности выбрать 100 значений признаков 1 и 2 с последовательными номерами NN = К, К+5, К+10,...., К+495 (все значения признака 1 увеличить при этом на величину К);

После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд;

Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1;

Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) выборочное среднеквадратичное отклонение;

Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределено по нормальному закону (уровень значимости = 0,05);

При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые (20 + Q) Значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке; Q - Последняя цифра индивидуального номера К;

Для тех же (20 + Q) Первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем.

N	Х	У	N	Х	У	N	Х	У	N	Х	У	N	Х	У	N	Х	У
1	222	34	86	190	28	171	336	37	256	218	38	341	337	41	426	227	38
6	89	17	91	92	14	176	205	25	261	130	24	346	233	40	431	254	35
11	196	33	96	189	29	181	66	11	266	201	11	351	87	10	436	330	37
16	289	39	101	167	19	186	172	29	271	342	37	356	128	23	441	192	33
21	206	30	106	224	39	191	337	18	276	205	25	361	170	26	446	277	41
26	77	20	111	251	39	196	228	37	281	66	11	366	192	29	451	187	31
31	207	25	116	115	13	201	167	39	286	72	26	371	271	36	456	238	32
36	96	22	121	306	21	206	224	39	291	257	18	376	294	13	461	140	25
41	336	41	126	237	39	211	251	39	296	228	34	381	228	30	466	191	10
46	333	40	131	264	35	216	115	13	301	238	30	386	190	28	471	337	36
51	87	14	136	329	38	221	206	21	306	305	17	391	92	15	476	205	25
56	128	23	141	212	30	226	237	39	311	212	33	396	189	29	481	86	11
61	170	26	146	277	41	231	264	25	316	289	39	401	197	17	486	202	29
66	191	29	151	197	30	236	329	38	321	206	32	406	244	39	491	337	18
71	271	36	156	218	33	241	212	31	326	77	22	411	251	37	496	268	37
76	294	33	161	130	24	246	277	41	331	207	25	416	115	13
81	228	30	166	201	11	251	197	30	336	296	22	421	296	22

Решение:

N	181	281	286	26	326	481	51	351	91	391	36	6
Х	50	50	56	61	61	70	71	71	76	76	80	89
У	11	11	26	20	22	11	14	10	14	15	22	17
N	116	216	416	56	356	161	261	461	101	201	61	361
Х	99	99	99	112	112	114	114	124	151	151	154	154
У	13	13	13	23	23	24	24	25	19	39	26	26
N	186	451	96	396	86	386	66	466	366	441	151	251
Х	156	171	173	173	174	174	175	175	176	176	181	181
У	29	31	29	29	28	28	29	10	29	33	30	30
N	401	166	266	486	176	276	476	21	221	321	31	331
Х	181	185	185	186	189	189	189	190	190	190	191	191
У	17	11	11	29	25	25	25	30	21	32	25	25
N	11	141	241	311	156	256	106	206	426	81	196	296
Х	196	196	196	196	202	202	208	208	211	212	212	212
У	33	30	31	33	33	38	39	39	38	30	37	34
N	381	346	126	226	1	301	456	406	111	211	411	431
Х	212	217	221	221	222	222	222	228	235	235	235	238
У	30	40	39	39	34	30	32	39	39	39	37	35
N	291	131	231	496	71	371	146	246	446	16	316	76
Х	241	248	248	252	255	255	261	261	261	273	273	278
У	18	35	25	37	36	36	41	41	41	39	39	33
N	376	336	421	306	121	136	236	436	46	41	171	191
Х	278	280	280	289	290	313	313	314	317	320	320	321
У	13	22	22	17	21	38	38	37	40	41	37	18
N	341	471	491	271
Х	321	321	321	326
У	41	36	18	37

После упорядочения значений признака 1 по возрастанию построить для этого признака интервальный вариационный ряд: данные уже упорядочены по возрастанию Х. Строим вариационный ряд:

Х	50	56	61	70	71	76	80	89	99	112	114	124
N	2	1	2	1	2	2	1	1	3	2	2	1
Х	151	154	156	171	173	174	175	176	181	185	186	189
N	2	2	1	1	2	2	2	2	3	2	1	3
Х	190	191	196	202	208	211	212	217	221	222	228	235
N	3	2	4	2	2	1	4	1	2	3	1	3
Х	238	241	248	252	255	261	273	278	280	289	290	313
N	1	1	2	1	2	3	2	2	2	1	1	2
Х	314	317	320	321	326
N	1	1	2	4	1

Интервальный ряд:

	44-80	80-116	116-152	152-188	188-224	224-260	260-296	296-332
Середина интервала,	62	98	134	170	206	242	278	314
	11	8	3	18	27	11	11	11
	0,11	0,08	0,03	0,18	0,27	0,11	0,11	0,11

Построить многоугольник и гистограмму выборочного распределения признака 1:

Определить числовые характеристики построенного выборочного распределения:

А) выборочную среднюю:

Б) выборочную дисперсию:

В) выборочное среднеквадратичное отклонение:

.

Для построенного выборочного распределения проверить гипотезу о том, что признак 1 в генеральной совокупности распределен по нормальному закону (уровень значимости = 0,05):

Составим расчетную таблицу:

		=−
62	11	-134,64	-1,8137	0,07703	3,73526	4	12,25
98	8	-98,64	-1,3287	0,16502	8,0024	8	0,00
134	3	-62,64	-0,8438	0,27945	13,5516	14	8,64
170	18	-26,64	-0,3589	0,37406	18,1397	18	0,00
206	27	9,36	0,12608	0,39578	19,1929	19	3,37
242	11	45,36	0,61102	0,33101	16,0518	16	1,56
278	11	81,36	1,09595	0,21882	10,6115	11	0,00
314	11	117,36	1,58089	0,11434	5,54496	6	4,17
Сумма	100				95	96	29,99

Найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона:

,

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K = S – 3 = 8 – 3 = 5 находим критическую точку правосторонней области:

Так как нет оснований принимать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

При доверительной вероятности = 0,95 определить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения признака 1 в генеральной совокупности, используя для этого первые 21 значений признака 1 в начальной (неупорядоченной) выборке.

Х	У	Х	У
222	34	112	23
89	17	154	26
196	33	175	29
273	39	255	36
190	30	278	33
61	20	212	30
191	25	174	28
80	22	76	14
320	41	173	29
317	40	151	19
71	14

Итак,

Найдем выборочное значение дисперсии:

Ищем критическое значение t при уровне значимости 0,95 и 21-1=20 степенях свободы t= 2,086. Тогда

Доверительный интервал для среднего:

Остальные доверительные интервалы:

Итак, для дисперсии доверительный интервал с вероятностью 0,95 (58; 206,642), для СКО (7,62; 14,38).

Для тех же 21 первых значений признаков 1 и 2 построить уравнение прямой линии регрессии Y (признак 1) на X (признак 2) и уравнение прямой линии регрессии X На У. Определить коэффициенты корреляции и детерминации и объяснить содержание этих коэффициентов. Построить графики прямых линий регрессии вместе с заданным корреляционным полем

Составим расчетную таблицу:

I							Y-		X-
1	222	49284	34	1156	7548	31,7756	2,2244	237,1137	-15,1137
2	89	7921	17	289	1513	19,0589	-2,0589	81,3592	7,6408
3	196	38416	33	1089	6468	29,2896	3,7104	227,9517	-31,9517
4	273	74529	39	1521	10647	36,6519	2,3481	282,9238	-9,9238
5	190	36100	30	900	5700	28,7160	1,2840	200,4656	-10,4656
6	61	3721	20	400	1220	16,3818	3,6182	108,8453	-47,8453
7	191	36481	25	625	4775	28,8116	-3,8116	154,6554	36,3446
8	80	6400	22	484	1760	18,1984	3,8016	127,1694	-47,1694
9	320	102400	41	1681	13120	41,1458	-0,1458	301,2479	18,7521
10	317	100489	40	1600	12680	40,8589	-0,8589	292,0859	24,9141
11	71	5041	14	196	994	17,3379	-3,3379	53,8731	17,1269
12	112	12544	23	529	2576	21,2581	1,7419	136,3314	-24,3314
13	154	23716	26	676	4004	25,2739	0,7261	163,8175	-9,8175
14	175	30625	29	841	5075	27,2817	1,7183	191,3036	-16,3036
15	255	65025	36	1296	9180	34,9309	1,0691	255,4378	-0,4378
16	278	77284	33	1089	9174	37,1300	-4,1300	227,9517	50,0483
17	212	44944	30	900	6360	30,8195	-0,8195	200,4656	11,5344
18	174	30276	28	784	4872	27,1861	0,8139	182,1415	-8,1415
19	76	5776	14	196	1064	17,8160	-3,8160	53,8731	22,1269
20	173	29929	29	841	5017	27,0905	1,9095	191,3036	-18,3036
21	151	22801	19	361	2869	24,9870	-5,9870	99,6833	51,3167
	3770	803702	582	17454	116616	582	0	3770	0
	179,524	38271,524	27,714	831,143	5553,143	27,714	0,000	179,524	0,000

Вычислим дисперсии:

Выборочные коэффициенты корреляции и детерминации:

.

Строим выборочное уравнение прямой линии регрессии У на х

Уравнение Х на У:

Строим графики:

Итак, полученное значение выборочного коэффициента корреляции 0,936 достаточно близко к 1. Поэтому связь между Х и У считается тесной, о чем говорит и сильная близость графиков линейных функций регрессии друг к другу.

< Предыдущая		Следующая >