Теория поля
1) Скалярное поле определено функцией 
. Найти градиент поля и построить поверхности уровня для 
По определению градиента скалярного поля
.
Находим частные производные функции 
:
, 
, 
Таким образом 
.
Построим поверхности уровня:
, тогда 
‑ точка, начало координат
, тогда 
‑ эллипсоид с вершиной в начале координат
, тогда 
‑ эллипсоид с вершиной в начале координат
, тогда 
‑ эллипсоид с вершиной в начале координат.
Изобразим данные поверхности
2) Найти производную функции 
в точке 
в направлении 
, где 
Производную по направлению ищем по формуле:
, 
, 
, 
, 
Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:
, отсюда 
Тогда имеем: 
Ответ: 
3) Показать что поле вектора 
является потенциальным и найти его потенциал.
Решение
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае
.
Таким образом, поле является потенциальным.
Обозначим 
- искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции 
должно совпадать с векторным полем 
.
Поэтому 
. Отсюда 
, 
, где 
- некоторая функция аргументов 
и 
.
Из условия 
, можно сделать вывод, что 
. Таким образом, 
.
Неопределенную функцию 
найдем из условия 
. Решением последнего уравнения является функция 
.
В итоге потенциал имеет вид 
.
4) Найти векторные линии 
Решение
Согласно определению векторных линий, векторные линии - это линии, в каждой точке которых вектор поля является касательным
Составляем систему: 
.
Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:
Равенство 
образует первую интегрируемую комбинацию.
Получаем 
.
Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции: 
.
Тогда, в нашем случае
Таким образом, векторные линии задаются системой:
5) Найти поток вектора 
А) Через поверхность сферы 
Б) Через площадь круга 
, 
В положительном направлении оси Oz.
Решение
А) Через поверхность сферы
По теореме Остроградского-Гаусса 
, тогда
Тогда 
.
Перейдём к сферическим координтам: 
,
Тогда 
Получим: 
б) Через площадь круга ,
По формуле 
Так как круг лежит в плоскости , то 
Тогда получим
Ответ: 
, 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|