Теория поля

1)  Скалярное поле определено функцией . Найти градиент поля и построить поверхности уровня для

Решение

По определению градиента скалярного поля

.

Находим частные производные функции :

, ,

Таким образом .

Построим поверхности уровня:

, тогда ‑ точка, начало координат

, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат

, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат

, тогда ‑ эллипсоид с вершиной в начале координат.

Изобразим данные поверхности

2)  Найти производную функции в точке в направлении , где

Решение

Производную по направлению ищем по формуле:

, ,

, ,

Найдем единичный вектор , имеющий данное направление:

, отсюда

Тогда имеем:

Ответ:

3)  Показать что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.

Решение

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции должно совпадать с векторным полем .

Поэтому . Отсюда , , где - некоторая функция аргументов и .

Из условия , можно сделать вывод, что . Таким образом, .

Неопределенную функцию найдем из условия . Решением последнего уравнения является функция .

В итоге потенциал имеет вид .

4)  Найти векторные линии

Решение

Согласно определению векторных линий, векторные линии - это линии, в каждой точке которых вектор поля является касательным

Составляем систему: .

Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:

Равенство образует первую интегрируемую комбинацию.

Получаем .

Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции: .

Тогда, в нашем случае

Таким образом, векторные линии задаются системой:

5)  Найти поток вектора

А) Через поверхность сферы

Б) Через площадь круга ,

В положительном направлении оси Oz.

Решение

А) Через поверхность сферы

По теореме Остроградского-Гаусса , тогда

Тогда .

Перейдём к сферическим координтам: ,

Тогда

Получим: б) Через площадь круга ,

По формуле

Так как круг лежит в плоскости , то

Тогда получим

Ответ: ,

Яндекс.Метрика