Теория функции комплексного переменного 02

Задание 2.

Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.

.

Решение.

Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что .

Известно, что .

Обозначим . Получаем уравнение:

,

,

Отсюда

Z=

Ответ:

Задание 4.

Дана функция и множество .

1)  Изобразить множество на комплексной плоскости.

2)  Найти образ множества при отображении (описать множество С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.

,

Решение.

1)  Изобразим множество

Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.

Второму неравенству соответствует угол между лучами и .

Луч не входит в область, входит.

2)

А)

Б)

- коэффициент растяжения функции.

- угол поворота

Тогда получим область

В). Это есть перенос на (-2+i).

Получим искомую область Е/:

Задание 5.

Дана функция И точка .

1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням . Указать области, в которых справедливы полученные разложения.

2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции . Если да, то, используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки , определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е. .

Найдем коэффициенты A, B и С.

,

,

Получили .

У функции три особые точки , И .

Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция является аналитической:

I);

II);

III).

А) Преобразуем дроби к нужному виду

,

.

Используем разложение , .

Значит при и при , т. е. при и При можно получить разложения полученных выражений в ряд:

=.

Аналогично,

.=

Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:

.=

Б) При и при

Используем представления:

.=

=

Поэтому в кольце имеем:

С) при

.=

=[ Используем разложение , .]=

Поэтому

2)  Точка является изолированной особой точкой функции .

Используем разложение

В точке функция имеет простой полюс и вычет равен коэффициенту при , т. е. вычет равен 1.

3)  Точка является устранимой особой точкой.

Для нахождения вычета в данной точке получим разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем:

Поэтому .

Задание 6.

Дана функция и дано число .

1)  Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .

2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки и найти вычет функции в этой точке.

, .

Решение.

1)  Функция аналитическая при всех .

Точка - существенно особая, так как главная часть ряда Лорана бесконечна.

Имеем - величина вычета в точке z=1/

Получим теперь ряд Лорана в точке . Имеем:

Рассмотрим

Имеем

Получаем ряд Тейлора в точке

Тогда

- ряд Лорана в точке . Получаем

Задание 7.

Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.

, .

Решение.

Функция имеет особые точки .

Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:

Получается, что в круге лежат все особые точки .

Так как -устранимая особая точка, то вычет в ней равен 0

Так как - полюс второго порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:

Так как - полюс первого порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:

=

Ответ:

Проверка(маткад)

Задание 8.

Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.

, .

Решение.

Рассмотрим уравнение

Или

Имеем 4 корня;

В верхней полуплоскости имеем 2 корня

Это простые полюсы подинтегральной функции.

Найдем вычеты в этих особых точках:

По теореме о вычетах с учетом леммы Жордана получим:

Поэтому

Ответ:

Проверка:

Задание 9.

Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области (каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).

, .

Решение.

Пусть , где и .

При , имеем , , Т. е. .

По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге .

Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.

Пусть . При имеем . Поэтому в круге функция имеет столько же нулей сколько и функция , т. е. 1 нуль. Поэтому в кольце функция имеет 6-1=5 нулей.

Ответ: 5 нулей.

Проверка:

Задание 10.

С помощью вычетов найти оригинал изображения . Сделать проверку (найти изображение функции , используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно )

.

Решение.

.

Рассмотрим функцию .

Найдем корни уравнения ,

, , - это особые точки второго порядка для данной функции.

Найдем вычеты в особых точках

Данные вычисления очень громоздки и при ручном вычислении в них легко допустить ошибку.

Воспользуемся Мапл:

Итак, оригинал имеет вид:

Этот же результат легко получить независимо в маткаде:

Так как независимые пакеты дали одинаковый результат корректность ответа установлена.