Теория функции комплексного переменного 02
Задание 2.
Записать в алгебраической форме все элементы множества Е.
.
Множество состоит из всех комплексных чисел z таких, что
.
Известно, что .
Обозначим . Получаем уравнение:
,
,
Отсюда
Z=
Ответ:
Задание 4.
Дана функция и множество
.
1) Изобразить множество на комплексной плоскости.
2) Найти образ множества
при отображении
(описать множество
С помощью неравенств) и изобразить его на комплексной плоскости.
,
1) Изобразим множество
Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и радиусами 2 и 3, причем окружность радиусом 2 не входит в область, а окружность радиусом 3 входит.
Второму неравенству соответствует угол между лучами и
.
Луч не входит в область,
входит.
2)
А)
Б)
- коэффициент растяжения функции.
- угол поворота
Тогда получим область
В). Это есть перенос на (-2+i).
Получим искомую область Е/:
Задание 5.
Дана функция И точка
.
1) Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана (ряд Тейлора) по степеням
. Указать области, в которых справедливы полученные разложения.
2) Определить, является ли точка изолированной особой точкой функции
. Если да, то, используя разложение функции
в ряд Лорана в окрестности точки
, определить тип особой точки
и найти вычет функции
в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки
, определить тип особой точки
и найти вычет функции
в этой точке.
,
.
Решение.
1) Представим дробь в виде суммы простых дробей, т. е.
.
Найдем коэффициенты A, B и С.
,
,
Получили .
У функции три особые точки ,
И
.
Получим три кольца с центром в точке (совпадает с особой точкой), в каждой из которой функция
является аналитической:
I);
II);
III).
А) Преобразуем дроби к нужному виду
,
.
Используем разложение ,
.
Значит при и при
, т. е. при
и
При можно получить разложения полученных выражений в ряд:
=.
Аналогично,
.=
Значит, в кольце Получим первое разложение в ряд Лорана:
.=
Б) При и при
Используем представления:
.=
=
Поэтому в кольце имеем:
С) при
.=
=[ Используем разложение ,
.]=
Поэтому
2) Точка является изолированной особой точкой функции
.
Используем разложение
В точке функция имеет простой полюс и вычет равен коэффициенту при
, т. е. вычет равен 1.
3) Точка является устранимой особой точкой.
Для нахождения вычета в данной точке получим разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Имеем:
Поэтому .
Задание 6.
Дана функция и дано число
.
1) Разложить функцию в ряд Лорана по степеням
.
2) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки
и найти вычет функции
в этой точке.
3) Используя разложение функции в ряд Лорана, определить тип особой точки
и найти вычет функции
в этой точке.
,
.
Решение.
1) Функция аналитическая при всех .
Точка - существенно особая, так как главная часть ряда Лорана бесконечна.
Имеем - величина вычета в точке z=1/
Получим теперь ряд Лорана в точке . Имеем:
Рассмотрим
Имеем
Получаем ряд Тейлора в точке
Тогда
- ряд Лорана в точке . Получаем
Задание 7.
Найти интеграл с помощью вычетов. Кривая Г ориентирована против часовой стрелки.
,
.
Решение.
Функция имеет особые точки
.
Проверяем, какие из них принадлежат исходной области:
Получается, что в круге лежат все особые точки
.
Так как -устранимая особая точка, то вычет в ней равен 0
Так как - полюс второго порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:
Так как - полюс первого порядка, то по формуле нахождения вычетов будем иметь:
=
Ответ:
Проверка(маткад)
Задание 8.
Найти несобственный интеграл с помощью вычетов.
,
.
Решение.
Рассмотрим уравнение
Или
Имеем 4 корня;
В верхней полуплоскости имеем 2 корня
Это простые полюсы подинтегральной функции.
Найдем вычеты в этих особых точках:
По теореме о вычетах с учетом леммы Жордана получим:
Поэтому
Ответ:
Проверка:
Задание 9.
Используя теорему Руше, найти число нулей функции в области
(каждый нуль считается столько раз, какова его кратность).
,
.
Решение.
Пусть , где
и
.
При , имеем
, ,
Т. е.
.
По теореме Руше все шесть нулей функции лежат в круге
.
Определим, сколько из них имеют модуль меньше 1.
Пусть . При
имеем
. Поэтому в круге
функция
имеет столько же нулей сколько и функция
, т. е. 1 нуль. Поэтому в кольце
функция
имеет 6-1=5 нулей.
Ответ: 5 нулей.
Проверка:
Задание 10.
С помощью вычетов найти оригинал изображения
. Сделать проверку (найти изображение функции
, используя таблицу стандартных изображений и свойства преобразования Лапласа и убедиться, что оно равно
)
.
Решение.
.
Рассмотрим функцию .
Найдем корни уравнения ,
,
,
- это особые точки второго порядка для данной функции.
Найдем вычеты в особых точках
Данные вычисления очень громоздки и при ручном вычислении в них легко допустить ошибку.
Воспользуемся Мапл:
Итак, оригинал имеет вид:
Этот же результат легко получить независимо в маткаде:
Так как независимые пакеты дали одинаковый результат корректность ответа установлена.
< Предыдущая | Следующая > |
---|