Теория функции комплексного переменного 01
1. Найти множество точек, в которых функция
является гармонической. Выяснить, существует ли аналитическая в некоторой области
функция:
, на которой
(соответственно
). Если такая функция
существует, то найти ее
Найдем частные производные:
Следовательно,
,
.
Таким образом, функция гармоническая в плоскости
, и, значит существует такая аналитическая в
функция
, что
.
В силу условий Коши-Римана имеем:
(1)
(2)
Интегрируем уравнение (2) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :
. (3)
Продифференцируем (3) по х:
Сопоставляя результат с (1), получаем , откуда
.
Таким образом, имеем
и
Ответ:
2. Вычислить интеграл по замкнутой кривой
.
Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и
. Тогда
.
Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.
,
Следовательно, это устранимая особая точка и
.
Следовательно, z=1 это устранимая особая точка и
.
Таким образом,
.
3. Найти разложение функции в ряд Лорана в точке по степеням
. Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.
Решение:
Разложим функцию на простые дроби:
Главная часть ; правильная часть
.
Область сходимости: .
4. Найти вычет данной функции во всех особых точках, определить их тип.
Найти вычет в бесконечно удаленной точке.
.
Решение:
Особые точки: . Обе они буду полюсами третьего порядка:
Вычислим в них вычеты:
Бесконечно особая точка: так как , то бесконечно удаленная точка будет нулем исходной функции.
.
5. Вычислить интеграл с помощью вычетов
.
Решение:
Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:
Пусть - рациональная функция,
, где
и
- многочлены степени
и
соответственно. Если функция
непрерывна на всей действительной оси и
, т. е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то
Где означает сумму вычетов функции
по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.
Построим функцию , которая на действительной оси (при
) совпадает с подынтегральной функцией
. Особые точки функции
- это точки
и
. Из них в верхней полуплоскости находится точка
, которая является полюсом второго порядка. Вычет функции
относительно полюса
равен
Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно,
.
6. Вычислить интеграл с помощью вычетов
.
Решение:
Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:
Пусть - рациональная функция аргументов
и
,
и функция
непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем
, тогда
,
,
,
. В этом случае
=
Где есть сумма вычетов функции
относительно полюсов, заключенных внутри окружности
.
В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим:
.
Особыми точками будут: ;
Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержатся 2 особых точки подынтегральной функции - это точка
и
, которые являются полюсами первого порядка. Вычет функции
относительно точки
равен
. Вычет функции
относительно точки
равен
.
Следовательно,
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|