Теория функции комплексного переменного 01

1. Найти множество точек, в которых функция является гармонической. Выяснить, существует ли аналитическая в некоторой области функция:

, на которой (соответственно ). Если такая функция существует, то найти ее

Решение:

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (2) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

. (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (1), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

и

Ответ:

2. Вычислить интеграл по замкнутой кривой

.

Решение:

Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и . Тогда

.

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

,

Следовательно, это устранимая особая точка и

.

Следовательно, z=1 это устранимая особая точка и

.

Таким образом,

.

3. Найти разложение функции в ряд Лорана в точке по степеням . Указать главную и правильную части ряда и его область сходимости.

Решение:

Разложим функцию на простые дроби:

Главная часть ; правильная часть .

Область сходимости: .

4. Найти вычет данной функции во всех особых точках, определить их тип.

Найти вычет в бесконечно удаленной точке.

.

Решение:

Особые точки: . Обе они буду полюсами третьего порядка:

Вычислим в них вычеты:

Бесконечно особая точка: так как , то бесконечно удаленная точка будет нулем исходной функции.

.

5. Вычислить интеграл с помощью вычетов

.

Решение:

Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , т. е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

Где означает сумму вычетов функции по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции - это точки и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса равен

Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно,

.

6. Вычислить интеграл с помощью вычетов

.

Решение:

Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция аргументов и , и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем , тогда , , , . В этом случае

=

Где есть сумма вычетов функции относительно полюсов, заключенных внутри окружности .

В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим: .

Особыми точками будут: ;

Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержатся 2 особых точки подынтегральной функции - это точка и , которые являются полюсами первого порядка. Вычет функции относительно точки равен . Вычет функции относительно точки равен

.

Следовательно,

.