Циркуляция и поток векторного поля
Задача 1. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г:
,
, лежащего в плоскости
, в положительном направлении относительно орта K.
Решение. Способ 1. Контуром интегрирования Г является АВА: половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат и отрезок прямой .
По формуле Стокса имеем
За поверхность S, ограниченную контуром Г, примем полукруг образованный сечением кругового цилиндра
плоскостью
.
Следовательно,
Ответ: .
Способ 2. Можно было решать по определению.
Циркуляция векторного поля вдоль контура Г определяется формулой линейного интеграла вдоль замкнутой линии Г:
Дуга АВ является частью окружности
Вычисляем
Получаем:
Окончательно,
Ответ: .
Задача 2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность
,
,
в направлении внешней нормали.
Решение. Поверхностью является пирамида V, образованная плоскостью
и координатными плоскостями.
Проекция поверхности на плоскость XOY есть треугольник D, ограниченный прямыми ,
,
Так как поверхность замкнутая, то можем воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса:
Ответ: .
< Предыдущая | Следующая > |
---|