Ряды, ряды Фурье, теория вероятности

Задача 35. Найти общий член ряда и проверить выполнение необходимого признака сходимости

Решение

Найдём общий член ряда

Ряд Может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю: .

Найдём .

Следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости, ряд расходится

Задача 36. Исследовать сходимость рядов и

,

Решение

Ряд сходится как ряд Дирихле при по второму признаку сравнения.

Найдём предел отношения общего члена ряда и ряда :

Поскольку предел существует и ряд расходится как ряд Дирихле при , то исследуемый ряд тоже расходится.

Задача 37. Найти область сходимости степенного ряда

Решение

Найдём интервал сходимости ряда

Тогда или .

Ряд сходится на интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При , тогда , так как не существует, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда и данный ряд расходится.

При , тогда , так как то аналогично предыдущему, ряд расходится.

Имеем интервал сходимости ряда: .

Ответ:

Задача 38. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

Тогда

Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Ответ:

Задача 39. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию ,

Решение

Разложение в степенной ряд выглядит так:

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства по :

Окончательно получим: .

Задача 40. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале . Построить графики функции и частичных сумм , ряда Фурье в указанном промежутке.

в интервале

Решение

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

В нашем примере L=5.

Где

В нашем случае

Подставляя полученные значения в разложение , получим:

Построим графики функции и частичных сумм ,

- не определена

Задача 41. В урне 6 зелёных, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочерёдно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что первый шар зелёный, второй красный, а третий белый.

Решение

По формуле классического определения вероятности: Вероятность достать первым зелёный шар: . Вероятность достать вторым красныйшар . Вероятность достать третьим белый шар . По формуле умножения вероятностей несовместных событий, вероятность того, что первый достали шар зелёный, второй красный, а третий белый

Ответ:

Задача 42. Две из четырёх независимо работающих деталей прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая детали, если вероятность отказа первой, второй, третьей и четвёртой деталей соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4.

Решение

Вероятность того, что отказали первая и вторая деталь, третья и четвёртая продолжили работать:

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >