Расчётное задание (10 дифференциальных уравнений)

Расчётное задание

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .

Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Решение

Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

- уравнение Бернулли.

Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:

Возвращаясь к функции У, получим

Ответ:

Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда - линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.

, ,

Решение

Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:

Получим уравнение первого порядка относительно :

Разделим переменные и проинтегрируем ,

Тогда или

Выполним обратную подстановку;

Используем условия , тогда .

Тогда уравнение запишется в виде

Разделим переменные и проинтегрируем , ,

Получим

Используем условие , тогда .

Окончательно получим:

Ответ:

Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения:

Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

, тогда

, .

Подставим в исходное

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

, тогда

, .

Подставим в исходное

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Ответ:

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = - i, r2 = i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

Ответ:

 

Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Ответ:

Яндекс.Метрика