Расчётное задание (10 дифференциальных уравнений)
Расчётное задание
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: .
Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.
Ответ:
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
- уравнение Бернулли.
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где U и V две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве V одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию V во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию И:
Возвращаясь к функции У, получим
Ответ:
Задача 5. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда - линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Задача 6. Найти частное решение дифференциального уравнения.
, ,
Решение
Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем:
Получим уравнение первого порядка относительно :
Разделим переменные и проинтегрируем ,
Тогда или
Выполним обратную подстановку;
Используем условия , тогда .
Тогда уравнение запишется в виде
Разделим переменные и проинтегрируем , ,
Получим
Используем условие , тогда .
Окончательно получим:
Ответ:
Задача 7. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Корни характеристического уравнения:
Так как его корни действительные и кратные отсутствуют, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и одинаковых функциях в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
, тогда
, .
Подставим в исходное
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Ответ:
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = - i, r2 = i
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Ответ:
Задача 10. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.
Решение
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим
, ,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение. Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|