Производные и матрицы
Домашнее задание 4
Найти производные функции
1)
2)
3) 4) - производная константы равна 0
5) - производная константы равна 0
Домашнее задание 1
1. Выполнить действия
А) б)
2. Вычислить определитель двумя способами
А) по правилу треугольника;
Б) разложение по строке.
А) по правилу треугольника;
Б) разложение по строке.
Запишем матрицу в виде:
Найдем определитель, использовав разложение по первой строке:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
7 |
10 |
6 |
6 |
10 |
5 |
11 |
16 |
11 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (10 • 11-16 • 5) = 30
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.
7 |
10 |
6 |
6 |
10 |
5 |
11 |
16 |
11 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆1,2 = (6 • 11-11 • 5) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.
7 |
10 |
6 |
6 |
10 |
5 |
11 |
16 |
11 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆1,3 = (6 • 16-11 • 10) = -14
Главный определитель:
∆ = (-1)1+17 • 30+(-1)1+210 • 11+(-1)1+36 • (-14) = 7 • 30-10 • 11+6 • (-14) = 16
3. Решить систему:
А) методом Гаусса;
Б) методом Крамера;
В) при помощи обратной матрицы.
А) методом Гаусса;
Решение СЛАУ методом Гаусса.
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (10). Умножим 2-ую строку на (-16). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-10). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
X3 = -300/(-50)
X2 = [544 - (44x3)]/28
X1 = [-28 - ( - x2 - 2x3)]/6
Из 1-ой строки выражаем x3
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 3-ой строки выражаем x1
Б) методом Крамера;
Запишем систему в виде: , BT = (-14,44,-28)
Главный определитель:
∆ = 16 • (3 • (-2)-(-1) • 4)-10 • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+6 • (2 • 4-3 • (-3)) = 140
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
-14 |
2 |
-3 |
44 |
3 |
4 |
-28 |
-1 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = (-14) • (3 • (-2)-(-1) • 4)-44 • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+(-28) • (2 • 4-3 • (-3)) = -140
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
16 |
-14 |
-3 |
10 |
44 |
4 |
6 |
-28 |
-2 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 16 • (44 • (-2)-(-28) • 4)-10 • ((-14) • (-2)-(-28) • (-3))+6 • ((-14) • 4-44 • (-3)) = 1400
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
16 |
2 |
-14 |
10 |
3 |
44 |
6 |
-1 |
-28 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 16 • (3 • (-28)-(-1) • 44)-10 • (2 • (-28)-(-1) • (-14))+6 • (2 • 44-3 • (-14)) = 840
Выпишем отдельно найденные переменные Х
, ,
В) при помощи обратной матрицы.
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: , Вектор B: BT=(-14,44,-28)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=16•(3•(-2)-(-1•4))-10•(2•(-2)-(-1•(-3)))+6•(2•4-3•(-3))=140
Итак, определитель 140 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X X=A-1 • B
,,
XT=(-1,10,6)
X1=-140 / 140=-1
X2=1400 / 140=10
X3=840 / 140=6
< Предыдущая | Следующая > |
---|