Пределы, графики, дифференциальные уравнения, ряды, двойные интегралы, матрицы

Раздел I

Вычислить пределы числовых последовательностей.

6.16.

Решение

Воспользуемся вторым замечательным пределом http://www.kvadromir.com/kuznec/limit/kuznecov_limit_6_bis.files/image008.gif

Вычислить пределы функций.

11.16

Решение

Использовали при

Вычислить пределы функций.

16.16.

Решение

Сделаем замену При ,

Тогда

Получим

Использовали что при

Раздел II

Найти производную.

11.16.

Решение

Прологарифмируем левую и правую части

Найдём производные от левой и правой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х:

Отсюда:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

16.16.

Решение

Раздел III

Провести полное исследование функций и построить их графики.

8.16.

Решение

    1. Область определения: 2. - функция общего вида 3. Точки пересечения с осями:

С осью ОХ ,

Промежутки знакопостоянства:

    4. Вертикальных асимптот нет, так как область определения: 5. Наклонная асимптота

- наклонных асимптот нет

6.

Найдём нули первой производной:

,

7.

Найдём

Точки - точка перегиба.

    8. Строим график

Раздел IV

Найти неопределенные интегралы

5.16.

Решение

Вычислить определенные интегралы.

8.16.

Решение

Вычислить определенные интегралы.

11.16.

Решение

Раздел V

Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)

1.16.

Решение

- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и проинтегрируем:

Посчитаем отдельно:

Тогда, общий интеграл :

Найти решение задачи Коши.

4.16.

Решение

- линейное дифференциальное уравнение.

Ищем решение в виде: , тогда . Подставим в исходное уравнение: . Отсюда .

Примем, что , тогда

Имеем

Тогда - общее решение.

Подставим начальніе условия:

Получим окончательно, - решение задачи Коши.

Ответ:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

13.16.

Решение

Раздел VI

Найти область сходимости функционального ряда.

14.16. .

Решение

Общий член ряда . Используем радикальный признак Коши: или . То есть

- интервал сходимости ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

При ряд примет вид - расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда .

При ряд примет вид - расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Ответ: область сходимости

Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

20.16. .

Решение

Разложим интегральную функцию в ряд. Используем разложение в ряд Тейлора функции:

Заменим разложение х на :

Тогда:

Так как 3й член ряда меньше 0,001

Ответ:

Раздел VII

Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.

11.16.

Решение

Перейдём к циллиндрическим координатам

Тогда , ,

По формуле . Имеем:

Найдём интегралы:

Ответ: (куб. ед.)

Тело V задано ограничивающими его поверхностями, m - плотность. Найти массу тела.

16.16.

Решение

Изобразим данное тело

Проекция данного тела на плоскость хОу

Перейдём к циллиндрическим координатам

Как видно из рисунка ,

По формуле

Тогда, искомая масса тела

Ответ:

Раздел VIII

Найти угол между градиентами скалярных полей И В точке .

2.16.

Решение

Найдём частные производные:

, .

В точке М: , тогда производные в данной точке:

, .

Найдём градиенты скалярних полей:

,

Скалярное произведение:

Поэтому

Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

10.16.

Решение

Параметрические уравнения

, .

Работа

Ответ:

Раздел IX

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

4.16.

Решение

,

Так как

3. (кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

6.16. Решение

Найдём объём тетраэдра:

Раздел X

Найти общее решение системы

3.16.

Решение

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную и основную матрицы:

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то Система является совместной.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3,x4,x5 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

- 5x2 = - 13 x3 + 5 x4 - 7 x5

X1 - 2x2 = - 5 x3 + 2 x4 - 3 x5

Методом исключения неизвестных находим:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3,x4,x5, то есть нашли Общее решение:

X2 = 13/5 x3- 1 x4 + 7/5 x5

X1 = 1/5 x3- 1/5 x5

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

9.16.

Решение

Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(7 - λ)x1-6x2 + 6x3 = 0

4x1 + (-1 - λ)x2 + 4x3 = 0

4x1-2x2 + (5 - λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(7 - λ) • ((-1 - λ) • (5 - λ)-(-2 • 4))-4 • (-6 • (5 - λ)-(-2 • 6))+4 • (-6 • 4-(-1 - λ) • 6)=0

После преобразований, получаем:

-λ3+11•λ2-31•λ+21 = 0

λ1 = 1

Подставляя λ1 = 1 в систему, имеем: Или

Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-2). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

6x2 = 0

4x1 - 2x2 = - 4

Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:

X2 = 0

X1 = - 1

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 1, имеет вид:

Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:

λ2 = 3

Подставляя λ2 = 3 в систему, имеем:

Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

2x2 = 2

4x1 - 2x2 = - 2

Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:

X2 = 1

X1 = 0

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = 3, имеет вид:

Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:

λ3 = 7

Подставляя λ3 = 7 в систему, имеем:

Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

6x2 = 6

4x1 - 2x2 = 2

Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:

X2 = 1

X1 = 1

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 7, имеет вид:

Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:

Яндекс.Метрика