Пределы, графики, дифференциальные уравнения, ряды, двойные интегралы, матрицы
Раздел I
Вычислить пределы числовых последовательностей.
6.16.
Воспользуемся вторым замечательным пределом
Вычислить пределы функций.
11.16
Использовали при
Вычислить пределы функций.
16.16.
Решение
Сделаем замену При ,
Тогда
Получим
Использовали что при
Раздел II
Найти производную.
11.16.
Решение
Прологарифмируем левую и правую части
Найдём производные от левой и правой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х:
Отсюда:
Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
16.16.
Решение
Раздел III
Провести полное исследование функций и построить их графики.
8.16.
Решение
- 1. Область определения: 2. - функция общего вида 3. Точки пересечения с осями:
С осью ОХ ,
Промежутки знакопостоянства:
Найдём нули первой производной:
Точки - точка перегиба.
- 8. Строим график
Раздел IV
Найти неопределенные интегралы
Решение
Вычислить определенные интегралы.
Решение
Вычислить определенные интегралы.
Решение
Раздел V
Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)
Решение
- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные и проинтегрируем:
Посчитаем отдельно:
Тогда, общий интеграл :
Найти решение задачи Коши.
Решение
- линейное дифференциальное уравнение.
Ищем решение в виде: , тогда . Подставим в исходное уравнение: . Отсюда .
Имеем
Подставим начальніе условия:
Получим окончательно, - решение задачи Коши.
Ответ:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение
Раздел VI
Найти область сходимости функционального ряда.
14.16. .
Решение
Общий член ряда . Используем радикальный признак Коши: или . То есть
- интервал сходимости ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
При ряд примет вид - расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда .
При ряд примет вид - расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
Ответ: область сходимости
Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
20.16. .
Решение
Разложим интегральную функцию в ряд. Используем разложение в ряд Тейлора функции:
Заменим разложение х на :
Тогда:
Так как 3й член ряда меньше 0,001
Ответ:
Раздел VII
Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
11.16.
Решение
Перейдём к циллиндрическим координатам
Тогда , ,
По формуле . Имеем:
Найдём интегралы:
Ответ: (куб. ед.)
Тело V задано ограничивающими его поверхностями, m - плотность. Найти массу тела.
16.16.
Решение
Изобразим данное тело
Проекция данного тела на плоскость хОу
Перейдём к циллиндрическим координатам
Как видно из рисунка ,
По формуле
Тогда, искомая масса тела
Раздел VIII
Найти угол между градиентами скалярных полей И В точке .
Решение
Найдём частные производные:
В точке М: , тогда производные в данной точке:
Найдём градиенты скалярних полей:
Поэтому
Найти работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .
Решение
Работа
Ответ:
Раздел IX
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение
Так как
Ответ: (кв. ед.)
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .
Найдём объём тетраэдра:
Раздел X
Найти общее решение системы
3.16.
Решение
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то Система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3,x4,x5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 5x2 = - 13 x3 + 5 x4 - 7 x5
X1 - 2x2 = - 5 x3 + 2 x4 - 3 x5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3,x4,x5, то есть нашли Общее решение:
X2 = 13/5 x3- 1 x4 + 7/5 x5
X1 = 1/5 x3- 1/5 x5
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
9.16.
Решение
Исходная матрица имеет вид:
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(7 - λ)x1-6x2 + 6x3 = 0
4x1 + (-1 - λ)x2 + 4x3 = 0
4x1-2x2 + (5 - λ)x3 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(7 - λ) • ((-1 - λ) • (5 - λ)-(-2 • 4))-4 • (-6 • (5 - λ)-(-2 • 6))+4 • (-6 • 4-(-1 - λ) • 6)=0
После преобразований, получаем:
-λ3+11•λ2-31•λ+21 = 0
λ1 = 1
Подставляя λ1 = 1 в систему, имеем: Или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-2). Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
6x2 = 0
4x1 - 2x2 = - 4
Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:
X2 = 0
X1 = - 1
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 1, имеет вид:
Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ2 = 3
Подставляя λ2 = 3 в систему, имеем:
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
2x2 = 2
4x1 - 2x2 = - 2
Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:
X2 = 1
X1 = 0
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = 3, имеет вид:
Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ3 = 7
Подставляя λ3 = 7 в систему, имеем:
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
6x2 = 6
4x1 - 2x2 = 2
Методом исключения неизвестных находим Нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли Общее решение:
X2 = 1
X1 = 1
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 7, имеет вид:
Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
< Предыдущая | Следующая > |
---|