Первообразные и теория вероятности

1.  Найти первообразные

А)

Б)

В)

Г)

Разложим дробь на простые дроби

Тогда , получим

2.  Вычислить определённые интегралы

А)

Б)

3.  Бросают игральную кость. Событие А – выпало нечётное число, В – выпало число меньшее 5. Найти ,,,, ,.

Решение

Имеем А={1; 3; 5}, B={1; 2; 3; 4}

Тогда ,

4.  Случайным образом выбирают три шара из 12, среди которых 5 – белые и 7 – чёрные. Найти вероятность того, что среди выбранных два белых шара.

Решение

Общее число элементарных исходов испытания равно числу сочетаний из 12 элементов по 2, то есть .

Число исходов, благоприятствующих появлению двух белых шаров равно числу сочетаний из 5 элементов по 2, то есть .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

Ответ:

5.  Бросают две игральные кости. Найти вероятность событий А – сумма выпавших очков равна 4, В – произведение выпавших очков равно 4.

Решение

Всего имеется 36 равновероятных исходов.

Из них 3 исхода (1-3, 3-1, 2-2) с суммой 4.

И 3 исхода (1-4, 4-1, 2-2) с произведением выпавших очков 4.

По классической формуле определения вероятности

Вероятность . Вероятность

Ответ:

6.  Два независимых события А и В наступают с вероятностями 0,4 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что наступит а) хотя бы одно событие, б) ровно одно событие.

Решение

Б) Вероятность наступления ровно одного события найдём по формуле

. В нашем случае , . Тогда

А) Вероятность наступления хотя бы одного события

Найдём вероятность не наступления ни события А ни В: .

Тогда вероятность противоположного события - вероятность наступления хотя бы одного события:

Ответ: б) , а)

7.  Дан ряд распределения случайной величины :

Найти Р3, функцию распределения , , , .

Решение

Так как сумма вероятностей Р1+Р2+Р3+Р4=1, то

Р3 =1-Р1+Р2+Р4=1-1/3-1/4-1/6=1/4

Тогда закон можно переписать в виде

Функция распределения

Если , то ;

Если , то ;

Если , то .

Если , то

;

Если , то

.

Вероятность 

Математическое ожидание дискретной случайной величины ,

Имеем

Дисперсия

8.  Дана плотность распределения:

Найти С, , , , .

Решение

Для определения коэффициента С воспользуемся условием нормировки плотности распределения: , откуда .

Тогда, плотность распределения