Операционное исчисление

Операционное исчисление

Вариант 6

1. Используя свойства преобразования Лапласа, найти изображение для оригинала:

(1)

Решение:

Изображение по Лапласу функции-оригинала называется функция

. Принято обозначение: или

Пусть .

Тогда 1)

2)

Итак, (2)

(3)

(4) - изображение оригинала (1)

Ответ:

2. Используя свойства преобразования Лапласа, найти оригинал по изображению:

(1)

Решение:

Представим (1) в стандартном виде:

: ; (1) нельзя разложить на более простейшие дроби

Ответ:

3. Решить уравнение операторным способом:

(1.1) (1.2)

Решение:

Пусть - изображение искомой функции

(2)

- операторное уравнение, равносильное задаче Коши (1.1)-(1.2)

Здесь , где

Найдем - изображение правой части уравнения (1.1)

- функция Хэвисайда

,

Разложим рациональные дроби на суммы простейших

Итак:

Иначе: ,

Проверка:

1) Удовлетворение уравнению (1.1)

2) Начальные условия (1.2)

3) Условия сшивания в точке

Ответ:

4. Решить систему дифференциальных уравнений:

Решение:

Запишем искомые функции-оригиналы и их изображения:

Из (3.2):

Из (3.3):

Подставим в (3.1):

Разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей:

Итак,

Решение системы (1.1)-(1.3):

Проверка:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Начальные условия:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Ответ:

Яндекс.Метрика