Метод хорд и касательных

Решение.

Обозначим через левую часть уравнения, т. е. . Установим промежутки, внутри которых находится один и только один корень уравнения. Так как , то, следовательно, функция возрастает на всей числовой оси, и график функции может пересекать ось ОХ не более чем в одной точке. Так как F(1)=-1, а F(2)=10,то искомый корень заключен в интервале (1,2).

Используем для этого Метод хорд.

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале [a, b], в предположении, что f(a)f(b)<0.

Уравнение хорды:

В точке x=x1, y=0, в результате получим первое приближение корня

Проверяем условия:

1. f(x1)f(b)<0,

2. f(x1)f(a)<0.

Если выполняется условие (1), то в формуле точку A заменяем на x1, получим:

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения:

Пусть f(xi)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x1. Здесь выполняется f(x1)f(a)<0. Затем вводим b1=x1 (в формуле точку B заменяем на x1), получим:

Продолжая процесс, придем к формуле:

Останов процесса: |xn – xn-1|< ε, ξ = xn.

Находим первую производную: dF/dx = 3•x2+4

Находим вторую производную: d2F/dx2 = 6•x

Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1;2] разобьем на 10 подынтервалов.

H1 = 1 + 1*(2-1)/10 = 1.1

H2 = 1 + (1+1)*(2-1)/10 = 1.2

Поскольку F(1.1)*F(1.2)<0, то корень лежит в пределах [1.1;1.2].

Вычисляем значения функций в точке a = 1.1

F(1.1) = -0.269

F ''(1.1) = 6.6

Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.2

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N

X

F(x)

H = F(x)*(b-x)/(f(b)-f(x))

1

1.1

-0.269

-0.03375

2

1.1338

-0.00768

-0.00095

Ответ: x = 1.13

Используем для этого Метод Ньютона.

Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a, b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:

Xn = xn-1 + hn-1

Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:

F(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0

Отсюда следует:

Подставим hn-1 в формулу, получим:

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.

Находим первую производную: dF/dx = 3•x2+4

Находим вторую производную: d2F/dx2 = 6•x

Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1;2] разобьем на 10 подынтервалов.

H1 = 1 + 1*(2-1)/10 = 1.1

H2 = 1 + (1+1)*(2-1)/10 = 1.2

Поскольку F(1.1)*F(1.2)<0, то корень лежит в пределах [1.1;1.2].

Вычисляем значения функций в точке a = 1.1.

F(1.1) = -0.269

F ''(1.1) = 6.6

Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 1.2

Остальные расчеты сведем в таблицу.

N

X

F(x)

DF(x)

H = f(x) / f '(x)

1

1.2

0.528

8.32

0.06346

2

1.1365

0.01424

7.8752

0.00181

Ответ: x = 1.13

Яндекс.Метрика