Матрицы, пределы, производные, интегралы

5. Решить систему уравнений тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.

Решение

По формулам Крамера:

Запишем систему в виде: , BT = (7,-11,0)

Главный определитель:

∆ = 1 • ((-5) • (-2)-(-1) • 1)-(-3) • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+2 • (2 • 1-(-5) • (-3)) = -36

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

7	2	-3
-11	-5	1
0	-1	-2

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • ((-5) • (-2)-(-1) • 1)-(-11) • (2 • (-2)-(-1) • (-3))+0 • (2 • 1-(-5) • (-3)) = 0

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	7	-3
-3	-11	1
2	0	-2

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-11) • (-2)-0 • 1)-(-3) • (7 • (-2)-0 • (-3))+2 • (7 • 1-(-11) • (-3)) = -72

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	2	7
-3	-5	-11
2	-1	0

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 1 • ((-5) • 0-(-1) • (-11))-(-3) • (2 • 0-(-1) • 7)+2 • (2 • (-11)-(-5) • 7) = 36

Выпишем отдельно найденные переменные Х:, ,

Методом Гаусса-Жордана:

Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (1).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1	X2	X3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-3 / 1 = -3	7 / 1 = 7

Разрешающий элемент равен (1).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1	X2	X3	B

0 / 1 = 0	1 / 1 = 1	-8 / 1 = -8	10 / 1 = 10

Разрешающий элемент равен (-36).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1	X2	X3	B


0 / -36 = 0	0 / -36 = 0	-36 / -36 = 1	36 / -36 = -1

Получили: x1 = 0, x2 = 2, x3 = -1

Средствами матричного исчисления:

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B: BT=(7,-11,0)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=1•(-5•(-2)-(-1•1))-(-3•(2•(-2)-(-1•(-3))))+2•(2•1-(-5•(-3)))=-36

Итак, определитель -36 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица

Вычисляем алгебраические дополнения.

, ∆1,1=(-5•(-2)-1•(-1))=11

, ∆1,2=-(2•(-2)-(-3•(-1)))=7

, ∆1,3=(2•1-(-3•(-5)))=-13

, ∆2,1=-(-3•(-2)-1•2)=-4

, ∆2,2=(1•(-2)-(-3•2))=4

, ∆2,3=-(1•1-(-3•(-3)))=8

, ∆3,1=(-3•(-1)-(-5•2))=13

, ∆3,2=-(1•(-1)-2•2)=5

, ∆3,3=(1•(-5)-2•(-3))=1

Обратная матрица

Вектор результатов X: X=A-1 • B

, ,

X1=0 / -36=0, x2=-72 / -36=2, x3=36 / -36=-1 ,

XT=(0,2,-1)

Проверим правильность вычисления обратной матрицы. Для этого проверим выполнение равенства А-1*А=Е, где Е – единичная матрица.

- верно

Ответ: , ,

15. Даны координаты точек А и В, векторы и . Являются ли векторы и перпендикулярными? Найти . Коллинеарны ли векторы и +?

, , ,

Решение

Векторы и будут перпендикулярными, если их скалярное произведение равно 0. Найдем его: Следовательно, векторы и Не перпендикулярны.

По формулам: ,

Тогда ,

Найдём вектор по формуле :

Так в случае пространственной задачи вектора a={ax; ay; az} и b={bx; by; bz} коллинеарны если

Ax	=	Ay	=	Az
Bx	By	Bz

Проверим данное условие . Следовательно, данные векторы не коллинеарны.

25. Даны плоскость , вектор , точка М. Найти: а) уравнение плоскости , проходящей через точку М параллельно плоскости ; б) уравнение плоскости , проходящей через начало координат перпендикулярно вектору : в) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости .

, ,

Решение

А) уравнение плоскости , проходящей через точку М параллельно плоскости ;

Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия параллельности плоскостей следует, что: . Поэтому можно положить A=2, B=-1, C=3.

Поэтому уравнение плоскости принимает вид 2x-y+3z+D=0.

Кроме того, так как , то её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: 2*(-1)-0+3*2+D=0, D=-4.

Итак, искомое уравнение 2x-y+3z-4=0.

Б) уравнение плоскости , проходящей через начало координат перпендикулярно вектору :

Составим уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Используем формулу: ,

Тогда :

В) канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости .

Нормальным вектором плоскости является вектор . Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости то Является ее направляющим вектором. Итак, мы знаем координаты точки, лежащей на искомой прямой, и координаты ее направляющего вектора, то есть, можем написать ее канонические уравнения:

Параметрическое уравнение прямой:

35. Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

А) , б) в) ,

Решение

А) ,

Б)

Использвали при

В) ,

45. Найти производные заданных функций.

А) , б) в) , г) , д)

Решение

А) ,

Б)

В)

Г) Д)

65. Исследовать функцию на экстремум.

Решение

Находим частные производные заданной функции по х и по у:

Составим систему уравнений:

Точки М1(0;0) и М2(1;-0,5) есть стационарные точки, в которых функция может иметь экстремум. Это есть необходимый признак экстремума.

Для определения достаточного признака экстремума функции с несколькими переменными нужно выяснить, какое значение принимает выражение , где

Выясним:

Тогда для точки М1(0;0):

. Следовательно, точка М1(0;0) – не является точкой экстремума.

Для точки М2(1;-0,5):

. Следовательно, точка М1(0;0) – является точкой минимум, так как A=1>0.

Ответ:

75. Используя известные разложения, разложить заданную функцию в степенной ряд. Указать радиус сходимости этого ряда.

Решение

Используем стандартное разложение:

Тогда ,

Получили ряд ,

85. Вычислить неопределённые и определённые интегралы. В пунктах а) и б) сделать проверку.

А) , б) в) , г)

Решение

А) ,

Проверка: верно

Б)

Проверка:

В) ,

Г)

95. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций.

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой нужно найти:

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

По формуле . В нашем случае ,, , . Получим:

Ответ: (кв. ед)

105. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение

- расходится

175. В пункте а) решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, сделать проверку; в пункте б) найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

А) , ,

Б)

Решение

А) Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: .

Используем условие

Тогда, окончательно,

Сделаем проверку, подставим в исходное уравнение: , - верно

Б) Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим