Матрицы, комплексные числа, векторное исчисление

Решение

, , ,

Найдём модуль и аргумент комплексного числа

,

Тогда

Найдём модуль и аргумент комплексного числа

,

Тогда ,

,

Решение

=

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

1

1

-1

2

-4

1

4

-3

1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-4) • 1-(-3) • 1) = -1

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

1

1

-1

2

-4

1

4

-3

1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1 • 1-(-3) • (-1)) = -2

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

1

1

-1

2

-4

1

4

-3

1

Получаем:

Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1 • 1-(-4) • (-1)) = -3

Главный определитель:

∆ = (-1)1+11 • (-1)+(-1)2+12 • (-2)+(-1)3+14 • (-3) = 1 • (-1)-2 • (-2)+4 • (-3) = -9

Главный определитель

∆=1•(-4•1-(-3•1))-2•(1•1-(-3•(-1)))+4•(1•1-(-4•(-1)))=-9

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.

Транспонированная матрица.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

Где Aij - алгебраические дополнения.

Найдем Алгебраические дополнения.

Решение

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.

Выпишем расширенную и основную матрицы:

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Ранг матрицы B (rangB=3) больше ранга матрицы A(rangA=2).

Система имеет бесконечное число решений.

А) метод Гаусса

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Работаем со столбцом №1

Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 3 = -1/3) и добавим к 3-ой:

4

1

-3

1

3

1

-1

2

0

-1/3

-5/3

13/3

Умножим 1-ую строку на (k = -3 / 4 = -3/4) и добавим к 2-ой:

4

1

-3

1

0

1/4

5/4

5/4

0

-1/3

-5/3

13/3

Работаем со столбцом №2

Умножим 2-ую строку на (k = 1/3 / 1/4 = 4/3) и добавим к 3-ой:

4

1

-3

1

0

1/4

5/4

5/4

0

0

0

6

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

Теперь исходную систему можно записать как:

X1 = 1/4 - (1/4x2 - 3/4x3)

X2 = 5 - (5x3)

3-ая строка является линейной комбинацией других строк.

Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x3 к 0

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 1-ой строки выражаем x1

Б) Метод Крамера

Запишем систему в виде:

A =

4

1

-3

3

1

-1

1

0

-2

BT = (1,2,5)

Главный определитель:

∆ = 4 • (1 • (-2)-0 • (-1))-3 • (1 • (-2)-0 • (-3))+1 • (1 • (-1)-1 • (-3)) = 0
Определитель равен 0. Система имеет бесконечное множество решений.

С) метод обратной матрицы

Данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х= B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется Матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Определитель матрицы A равен 0. Таким образом, матрицы A - Вырожденная, т. е. система имеет бесконечное множество решений.

Решение

По формуле

Тогда

Решение

Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2(3,0,-12)

Уравнение плоскости

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-2)(0 • 2-(-1) • (-12)) - (y-3)(3 • 2-(-1) • (-12)) + (z-5)(3 • (-1)-(-1) • 0) = -12x+6y-3z +21= 0

Упростим выражение: -4x + 2y - z + 7 = 0

Уравнение высоты пирамиды через вершину А4М, перепендикулярно плоскости A1A2A3

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0

,

Уравнение прямой А3N параллельно прямой А1А2 в координатной форме

Так как уравнение вектор A1A2(3;0;-12)

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l, m,n), имеет вид:

L(x - x0) + m(y - y0) + n(z - z0) = 0

Координаты точки A4(4;2;0)

Координаты вектора A1A2(3;0;-12)

3(x - 4) + 0(y - 2) + (-12)(z - 0) = 0

Искомое уравнение плоскости: 3x - 12z-12 = 0

Упростим выражение: x - 4z-4 = 0

Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0

Уравнение прямой A1A4:

Угол между плоскостью ОХУ и плоскостью A1A2A3

Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

Уравнение плоскости ОХУ: z = 0

Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0

Решение

А) Используем:

Каноническое уравнение эллипса ,

Эксцентриситет . По условию , тогда

Имеем и по условию . Тогда

Из уравнения

Тогда получим

Б) Используем:

Каноническое уравнение гиперболы

По условию, асимптоты ,

Тогда , из уравнения

Тогда

Тогда получим

С) Используем:

Каноническое уравнение параболы

По условию, точка А(4,1) Принадлежит параболе.

Тогда

Тогда получим

Решение

А)

Б)

В)

Использовали при

Решение

Решение

Пусть , логарифмируем . Применяя правило Лопиталя получим:

Тогда

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Найдём первую производную:

====

====

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. , ,

Критические точки:

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

=======

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. ,, ,.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью : нет

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

. Вертикальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты: нет.

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. =

Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.

Наклонные асимптоты: .

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Яндекс.Метрика