Матрицы, комплексные числа, векторное исчисление
, , ,
Найдём модуль и аргумент комплексного числа
,
Тогда
Найдём модуль и аргумент комплексного числа
,
Тогда ,
,
=
Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
-1 |
2 |
-4 |
1 |
4 |
-3 |
1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-4) • 1-(-3) • 1) = -1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
-1 |
2 |
-4 |
1 |
4 |
-3 |
1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1 • 1-(-3) • (-1)) = -2
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 |
1 |
-1 |
2 |
-4 |
1 |
4 |
-3 |
1 |
Получаем:
Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1 • 1-(-4) • (-1)) = -3
Главный определитель:
∆ = (-1)1+11 • (-1)+(-1)2+12 • (-2)+(-1)3+14 • (-3) = 1 • (-1)-2 • (-2)+4 • (-3) = -9
Главный определитель
∆=1•(-4•1-(-3•1))-2•(1•1-(-3•(-1)))+4•(1•1-(-4•(-1)))=-9
Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:
Где Aij - алгебраические дополнения.
Найдем Алгебраические дополнения.
Решение
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Ранг матрицы B (rangB=3) больше ранга матрицы A(rangA=2).
Система имеет бесконечное число решений.
А) метод Гаусса
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 3 = -1/3) и добавим к 3-ой:
4 |
1 |
-3 |
1 |
3 |
1 |
-1 |
2 |
0 |
-1/3 |
-5/3 |
13/3 |
Умножим 1-ую строку на (k = -3 / 4 = -3/4) и добавим к 2-ой:
4 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
1/4 |
5/4 |
5/4 |
0 |
-1/3 |
-5/3 |
13/3 |
Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ую строку на (k = 1/3 / 1/4 = 4/3) и добавим к 3-ой:
4 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
1/4 |
5/4 |
5/4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
Теперь исходную систему можно записать как:
X1 = 1/4 - (1/4x2 - 3/4x3)
X2 = 5 - (5x3)
3-ая строка является линейной комбинацией других строк.
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2
Из 1-ой строки выражаем x1
Б) Метод Крамера
Запишем систему в виде:
A = |
|
BT = (1,2,5)
Главный определитель:
∆ = 4 • (1 • (-2)-0 • (-1))-3 • (1 • (-2)-0 • (-3))+1 • (1 • (-1)-1 • (-3)) = 0
Определитель равен 0. Система имеет бесконечное множество решений.
С) метод обратной матрицы
Данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х= B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется Матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Определитель матрицы A равен 0. Таким образом, матрицы A - Вырожденная, т. е. система имеет бесконечное множество решений.
Решение
По формуле
Тогда
Решение
Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой A1A2(3,0,-12)
Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-2)(0 • 2-(-1) • (-12)) - (y-3)(3 • 2-(-1) • (-12)) + (z-5)(3 • (-1)-(-1) • 0) = -12x+6y-3z +21= 0
Упростим выражение: -4x + 2y - z + 7 = 0
Уравнение высоты пирамиды через вершину А4М, перепендикулярно плоскости A1A2A3
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
,
Уравнение прямой А3N параллельно прямой А1А2 в координатной форме
Так как уравнение вектор A1A2(3;0;-12)
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l, m,n), имеет вид:
L(x - x0) + m(y - y0) + n(z - z0) = 0
Координаты точки A4(4;2;0)
Координаты вектора A1A2(3;0;-12)
3(x - 4) + 0(y - 2) + (-12)(z - 0) = 0
Искомое уравнение плоскости: 3x - 12z-12 = 0
Упростим выражение: x - 4z-4 = 0
Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
Уравнение прямой A1A4:
Угол между плоскостью ОХУ и плоскостью A1A2A3
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
Уравнение плоскости ОХУ: z = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: -4x + 2y - z + 7 = 0
Решение
А) Используем:
Каноническое уравнение эллипса ,
Эксцентриситет . По условию , тогда
Имеем и по условию . Тогда
Из уравнения
Тогда получим
Б) Используем:
Каноническое уравнение гиперболы
По условию, асимптоты ,
Тогда , из уравнения
Тогда
Тогда получим
С) Используем:
Каноническое уравнение параболы
По условию, точка А(4,1) Принадлежит параболе.
Тогда
Тогда получим
Решение
А)
Б)
В)
Использовали при
Решение
Решение
Пусть , логарифмируем . Применяя правило Лопиталя получим:
Тогда
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Найдём первую производную:
====
====
Первая производная:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. , ,
Критические точки:
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
=======
Вторая производная:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. ,, ,.
Точки пересечения с осью :
Точки пересечения с осью : нет
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль
. Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты: нет.
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. =
Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю.
Наклонные асимптоты: .
Точки разрыва:
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
< Предыдущая | Следующая > |
---|