Математическая статистика 01

Задача 1. Произведено N наблюдений над непрерывной случайной величиной X. диапазон изменения величины X разбит на 8 отрезков. Отрезки и число наблюдений Ni, попавших в каждый из них, указаны в следующей таблице.

Требуется:

А)  построить гистограмму;

Б)  вычислить выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

GI-1; gI

[4,5;6,5]

[6,5;8,5]

[8,5;10,5]

[10,5;12,5]

[12,5;14,5]

[14,5;16,5]

[16,5;18,5]

[18,5;20,5]

Ni

15

15

30

80

50

35

15

10

Решение: Вычислим для каждого интервала относительные частоты, разделив частоты на общую сумму частот.

GI-1; gI

Ni

Wi

4,5 - 6,5

15

0,06

6,5 - 8,5

15

0,06

8,5 - 10,5

30

0,12

10,5 - 12,5

80

0,32

12,5 - 14,5

50

0,20

14,5 - 16,5

35

0,14

16,5 - 18,5

15

0,06

18,5 - 20,5

10

0,04

S

250

По полученным данным построим гистограмму относительных частот.

Преобразуем ряд в дискретный, вычислив для каждого интервала его середину.

GI-1; gI

Ni

Wi

Середина интервала

4,5 - 6,5

15

0,06

5,5

6,5 - 8,5

15

0,06

7,5

8,5 - 10,5

30

0,12

9,5

10,5 - 12,5

80

0,32

11,5

12,5 - 14,5

50

0,20

13,5

14,5 - 16,5

35

0,14

15,5

16,5 - 18,5

15

0,06

17,5

18,5 - 20,5

10

0,04

19,5

S

250

Для расчета средней и дисперсии составим вспомогательную таблицу.

GI-1; gI

Ni

Середина интервала

4,5 - 6,5

15

5,5

82,5

693,6

6,5 - 8,5

15

7,5

112,5

345,6

8,5 - 10,5

30

9,5

285,0

235,2

10,5 - 12,5

80

11,5

920,0

51,2

12,5 - 14,5

50

13,5

675,0

72,0

14,5 - 16,5

35

15,5

542,5

358,4

16,5 - 18,5

15

17,5

262,5

405,6

18,5 - 20,5

10

19,5

195,0

518,4

S

250

3075,0

2680

Вычислим выборочное среднее значение:

= 3075 : 250 = 12,3.

Выборочную дисперсию вычислим по формуле

= 2680 : 250 = 10,72.

Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение:

= 3,27.

Задача 2. Заданы среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины, выборочное среднее И объем выборки N. Найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью g.

S = 4; = 24; N = 36; g = 0,87.

Решение: Найдем доверительный интервал математического ожидания для нормального распределения и неизвестной дисперсии. Воспользуемся формулой:

Значение T(g;k) найдем по таблицам T-распределения Стьюдента.

= 1 – 0,87 = 0,13 и K = 36 – 1 = 35.

Получим: = T0,065;35 = 1,905.

= 1,27.

Получим: 24 – 1,27 < A < 24 + 1,27 или 22,73 < A < 25,27

Задача 3. Диапазон изменения случайной величины X разбит на 6 интервалов. Интервалы и количество наблюдений Ni, попавших в каждый из интервалов, заданы следующей таблицей.

GI-1; gI

[-¥; -1,0]

[-1,0; -0,5]

[-0,5; 0]

[0; 0,5]

[0,5; 1,0]

[1,0; +¥]

Ni

30

30

40

40

30

30

При уровне значимости a0 = 0,1 проверить гипотезу H0, состоящую в том, что случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение N{0; 1}.

Решение: Проверим гипотезу о стандартном нормальном распределении исследуемой случайной величины с помощью критерия Пирсона.

, где – эмпирические частоты, – теоретические частоты нормального закона распределения.

Теоретические частоты вычислим по формуле:

, где = 30+30+40+40+30+30 = 200.

= 32;

= 30;

= 38;

= 38;

= 30;

= 32.

Составим вспомогательную таблицу:

30

32

0,1250

30

30

0,0000

40

38

0,1053

40

38

0,1053

30

30

0,0000

30

32

0,1250

200

200

0,4606

Итак, = 0,4606.

По таблице критических точек распределения по уровню значимости, равному 0,1 и числу степеней свободы, равному 6 – 1 – 2 = 3 найдем = 6,251.

Поскольку наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, то степень расхождения теоретических и эмпирических частот незначима и гипотезу о нормальном распределении случайной величины Следует принять.

Яндекс.Метрика