Математическая статистика 01
Задача 1. Произведено N наблюдений над непрерывной случайной величиной X. диапазон изменения величины X разбит на 8 отрезков. Отрезки и число наблюдений Ni, попавших в каждый из них, указаны в следующей таблице.
Требуется:
А) построить гистограмму;
Б) вычислить выборочное среднее значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
GI-1; gI |
[4,5;6,5] |
[6,5;8,5] |
[8,5;10,5] |
[10,5;12,5] |
[12,5;14,5] |
[14,5;16,5] |
[16,5;18,5] |
[18,5;20,5] |
Ni |
15 |
15 |
30 |
80 |
50 |
35 |
15 |
10 |
Решение: Вычислим для каждого интервала относительные частоты, разделив частоты на общую сумму частот.
GI-1; gI |
Ni |
Wi |
4,5 - 6,5 |
15 |
0,06 |
6,5 - 8,5 |
15 |
0,06 |
8,5 - 10,5 |
30 |
0,12 |
10,5 - 12,5 |
80 |
0,32 |
12,5 - 14,5 |
50 |
0,20 |
14,5 - 16,5 |
35 |
0,14 |
16,5 - 18,5 |
15 |
0,06 |
18,5 - 20,5 |
10 |
0,04 |
S |
250 |
По полученным данным построим гистограмму относительных частот.
Преобразуем ряд в дискретный, вычислив для каждого интервала его середину.
GI-1; gI |
Ni |
Wi |
Середина интервала |
4,5 - 6,5 |
15 |
0,06 |
5,5 |
6,5 - 8,5 |
15 |
0,06 |
7,5 |
8,5 - 10,5 |
30 |
0,12 |
9,5 |
10,5 - 12,5 |
80 |
0,32 |
11,5 |
12,5 - 14,5 |
50 |
0,20 |
13,5 |
14,5 - 16,5 |
35 |
0,14 |
15,5 |
16,5 - 18,5 |
15 |
0,06 |
17,5 |
18,5 - 20,5 |
10 |
0,04 |
19,5 |
S |
250 |
Для расчета средней и дисперсии составим вспомогательную таблицу.
GI-1; gI |
Ni |
Середина интервала | ||
4,5 - 6,5 |
15 |
5,5 |
82,5 |
693,6 |
6,5 - 8,5 |
15 |
7,5 |
112,5 |
345,6 |
8,5 - 10,5 |
30 |
9,5 |
285,0 |
235,2 |
10,5 - 12,5 |
80 |
11,5 |
920,0 |
51,2 |
12,5 - 14,5 |
50 |
13,5 |
675,0 |
72,0 |
14,5 - 16,5 |
35 |
15,5 |
542,5 |
358,4 |
16,5 - 18,5 |
15 |
17,5 |
262,5 |
405,6 |
18,5 - 20,5 |
10 |
19,5 |
195,0 |
518,4 |
S |
250 |
3075,0 |
2680 |
Вычислим выборочное среднее значение:
= 3075 : 250 = 12,3.
Выборочную дисперсию вычислим по формуле
= 2680 : 250 = 10,72.
Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение:
= 3,27.
Задача 2. Заданы среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины, выборочное среднее И объем выборки N. Найти доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью g.
S = 4; = 24; N = 36; g = 0,87.
Решение: Найдем доверительный интервал математического ожидания для нормального распределения и неизвестной дисперсии. Воспользуемся формулой:
Значение T(g;k) найдем по таблицам T-распределения Стьюдента.
= 1 – 0,87 = 0,13 и K = 36 – 1 = 35.
Получим: = T0,065;35 = 1,905.
= 1,27.
Получим: 24 – 1,27 < A < 24 + 1,27 или 22,73 < A < 25,27
Задача 3. Диапазон изменения случайной величины X разбит на 6 интервалов. Интервалы и количество наблюдений Ni, попавших в каждый из интервалов, заданы следующей таблицей.
GI-1; gI |
[-¥; -1,0] |
[-1,0; -0,5] |
[-0,5; 0] |
[0; 0,5] |
[0,5; 1,0] |
[1,0; +¥] |
Ni |
30 |
30 |
40 |
40 |
30 |
30 |
При уровне значимости a0 = 0,1 проверить гипотезу H0, состоящую в том, что случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение N{0; 1}.
Решение: Проверим гипотезу о стандартном нормальном распределении исследуемой случайной величины с помощью критерия Пирсона.
, где – эмпирические частоты, – теоретические частоты нормального закона распределения.
Теоретические частоты вычислим по формуле:
, где = 30+30+40+40+30+30 = 200.
= 32;
= 30;
= 38;
= 38;
= 30;
= 32.
Составим вспомогательную таблицу:
30 |
32 |
0,1250 |
30 |
30 |
0,0000 |
40 |
38 |
0,1053 |
40 |
38 |
0,1053 |
30 |
30 |
0,0000 |
30 |
32 |
0,1250 |
200 |
200 |
0,4606 |
Итак, = 0,4606.
По таблице критических точек распределения по уровню значимости, равному 0,1 и числу степеней свободы, равному 6 – 1 – 2 = 3 найдем = 6,251.
Поскольку наблюдаемое значение критерия меньше критического значения, то степень расхождения теоретических и эмпирических частот незначима и гипотезу о нормальном распределении случайной величины Следует принять.
< Предыдущая | Следующая > |
---|