Линейная алгебра 01
А)
Б) Найдём АВ
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 1*2+2*5+(-1)*8
Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом.
Получаем: 1*1+2*4+(-1)*7
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 3*2+4*5+3*8
Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом.
Получаем: 3*1+4*4+3*7
В итоге получаем матрицу
AxB= =
Найдём ВА:
В итоге получаем матрицу
BxA = =
В) 
Найдём 
Главный определитель
∆=-1•(0•(-11)-(-1•0))-(-2•(1•(-11)-(-1•(-1))))+(-3•(1•0-0•(-1)))=-24
Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу .
Транспонированная матрица. 
Обратная матрица будет иметь следующий вид:
, где Aij - алгебраические дополнения.
Найдем алгебраические дополнения.
∆1,1=(0•(-11)-0•(-1))=0
∆1,2=-(1•(-11)-(-1•(-1)))=12
∆1,3=(1•0-(-1•0))=0
∆2,1=-(-2•(-11)-0•(-3))=-22
∆2,2=(-1•(-11)-(-1•(-3)))=8
∆2,3=-(-1•0-(-1•(-2)))=2
∆3,1=(-2•(-1)-0•(-3))=2
∆3,2=-(-1•(-1)-1•(-3))=-4
∆3,3=(-1•0-1•(-2))=2
Обратная матрица. 
1. Найдём определитель методом Гаусса:
Запишем матрицу в виде:
Работаем со столбцом №1
Умножим 3-ую строку на (k = 4 / 5 = 4/5) и добавим к 4-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
9 |
7 |
5 |
2 |
|
5 |
5 |
3 |
7 |
|
0 |
12 |
-28/5 |
13/5 |
Умножим 2-ую строку на (k = -5 / 9 = -5/9) и добавим к 3-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
9 |
7 |
5 |
2 |
|
0 |
10/9 |
2/9 |
53/9 |
|
0 |
12 |
-28/5 |
13/5 |
Умножим 1-ую строку на (k = -9 / 6 = -3/2) и добавим к 2-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
0 |
29/2 |
-7 |
-4 |
|
0 |
10/9 |
2/9 |
53/9 |
|
0 |
12 |
-28/5 |
13/5 |
Работаем со столбцом №2
Умножим 3-ую строку на (k = -12 / 10/9 = -54/5) и добавим к 4-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
0 |
29/2 |
-7 |
-4 |
|
0 |
10/9 |
2/9 |
53/9 |
|
0 |
0 |
-8 |
-61 |
Умножим 2-ую строку на (k = -10/9 / 29/2 = -20/261) и добавим к 3-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
0 |
29/2 |
-7 |
-4 |
|
0 |
0 |
22/29 |
539/87 |
|
0 |
0 |
-8 |
-61 |
Работаем со столбцом №3
Умножим 3-ую строку на (k = 8 / 22/29 = 116/11) и добавим к 4-ой:
|
6 |
-5 |
8 |
4 |
|
0 |
29/2 |
-7 |
-4 |
|
0 |
0 |
22/29 |
539/87 |
|
0 |
0 |
0 |
13/3 |
Ранг матрицы равен r=4
Определитель матрицы ∆ = 6 • 29/2 • 22/29 • 13/3 = 286
2. Запишем матрицу в виде:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
1/3 |
-5/2 |
2/5 |
3/2 |
|
2/3 |
-9/2 |
4/5 |
5/2 |
|
-1/7 |
2/7 |
-1/7 |
3/7 |
Работаем со столбцом №1
Умножим 3-ую строку на (k = 1/7 / 2/3 = 3/14) и добавим к 4-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
1/3 |
-5/2 |
2/5 |
3/2 |
|
2/3 |
-9/2 |
4/5 |
5/2 |
|
0 |
-19/28 |
1/35 |
27/28 |
Умножим 2-ую строку на (k = -2/3 / 1/3 = -2) и добавим к 3-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
1/3 |
-5/2 |
2/5 |
3/2 |
|
0 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
|
0 |
-19/28 |
1/35 |
27/28 |
Умножим 1-ую строку на (k = -1/3 / 3 = -1/9) и добавим к 2-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
0 |
-7/6 |
-1/15 |
-1/6 |
|
0 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
|
0 |
-19/28 |
1/35 |
27/28 |
Работаем со столбцом №2
Умножим 3-ую строку на (k = 19/28 / 1/2 = 19/14) и добавим к 4-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
0 |
-7/6 |
-1/15 |
-1/6 |
|
0 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
|
0 |
0 |
1/35 |
2/7 |
Умножим 2-ую строку на (k = 1/2 / 7/6 = 3/7) и добавим к 3-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
0 |
-7/6 |
-1/15 |
-1/6 |
|
0 |
0 |
-1/35 |
-4/7 |
|
0 |
0 |
1/35 |
2/7 |
Работаем со столбцом №3
Добавим 4-ую строку к 3-ой:
|
3 |
-12 |
21/5 |
15 |
|
0 |
-7/6 |
-1/15 |
-1/6 |
|
0 |
0 |
-1/35 |
-4/7 |
|
0 |
0 |
0 |
-2/7 |
Ранг матрицы равен r=4
Определитель матрицы ∆ = 3 • (-7/6) • (-1/35) • (-2/7) = -1/35
Решение
1. По формулам Крамера
Запишем систему в виде: , BT = (11,-20,-4)
Определитель:
∆ = 2 • (2 • 3-(-2) • (-5))-3 • (1 • 3-(-2) • 3)+5 • (1 • (-5)-2 • 3) = -90
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
11 |
1 |
3 |
|
-20 |
2 |
-5 |
|
-4 |
-2 |
3 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 11 • (2 • 3-(-2) • (-5))-(-20) • (1 • 3-(-2) • 3)+(-4) • (1 • (-5)-2 • 3) = 180
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
2 |
11 |
3 |
|
3 |
-20 |
-5 |
|
5 |
-4 |
3 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • ((-20) • 3-(-4) • (-5))-3 • (11 • 3-(-4) • 3)+5 • (11 • (-5)-(-20) • 3) = -270
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
2 |
1 |
11 |
|
3 |
2 |
-20 |
|
5 |
-2 |
-4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (2 • (-4)-(-2) • (-20))-3 • (1 • (-4)-(-2) • 11)+5 • (1 • (-20)-2 • 11) = -360
Выпишем отдельно найденные переменные Х 
2. Матричным способом
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(11,-20,-4)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=2•(2•3-(-2•(-5)))-3•(1•3-(-2•3))+5•(1•(-5)-2•3)=-90
Итак, определитель -90 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
∆1,1=(2•3-(-5•(-2)))=-4
∆1,2=-(1•3-3•(-2))=-9
∆1,3=(1•(-5)-3•2)=-11
∆2,1=-(3•3-(-5•5))=-34
∆2,2=(2•3-3•5)=-9
∆2,3=-(2•(-5)-3•3)=19
∆3,1=(3•(-2)-2•5)=-16
∆3,2=-(2•(-2)-1•5)=9
∆3,3=(2•2-1•3)=1
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X :X=A-1 • B
,, , XT=(-2,3,4)
X1=180 / -90=-2
X2=-270 / -90=3
X3=-360 / -90=4
Проверка.
2•-2+1•3+3•4=11
3•-2+2•3+-5•4=-20
5•-2+-2•3+3•4=-4
Ответ:
Решение
А) Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (5).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
B |
|
5 / 5 = 1 |
6 / 5 = 1.2 |
3 / 5 = 0.6 |
2 / 5 = 0.4 |
3 / 5 = 0.6 |
Разрешающий элемент равен (0.6).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
B |
|
0 / 0.6 = 0 |
0.6 / 0.6 = 1 |
-0.2 / 0.6 = -0.33 |
-0.8 / 0.6 = -1.33 |
-2.2 / 0.6 = -3.67 |
Разрешающий элемент равен (-1.67). Получим
Разрешающий элемент равен (1). Получим
. Тогда
X1 = -0.4
X2 = -1.2
X3 = 3.4
X4 = 1
Б) Запишем систему в виде:
|
1 |
1 |
3 |
-2 |
3 |
1 |
|
2 |
2 |
8 |
-3 |
9 |
2 |
|
2 |
2 |
4 |
-1 |
3 |
2 |
|
3 |
3 |
5 |
-2 |
3 |
1 |
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
B |
|
1 / 1 = 1 |
1 / 1 = 1 |
3 / 1 = 3 |
-2 / 1 = -2 |
3 / 1 = 3 |
1 / 1 = 1 |
Или
|
1 |
1 |
3 |
-2 |
3 |
1 |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
3 |
0 |
|
0 |
0 |
-2 |
3 |
-3 |
0 |
|
0 |
0 |
-4 |
4 |
-6 |
-2 |
Разрешающий элемент равен (-2). Получим
|
1 |
1 |
0 |
2.5 |
-1.5 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
-1.5 |
1.5 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
-2 |
0 |
-2 |
Разрешающий элемент равен (-2). Получим
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1.5 |
-1.5 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-4 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1.5 |
1.5 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Теперь исходную систему можно записать как:
X1 = -1.5 - x2 - 1.5x5
X2 = -4
X3 = 1.5 - 1.5x5
X4 = 1
Необходимо переменные x4,x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x4,x5 к 0
X1 = -1.5
X3 = 1.5
X4 = 1
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.
В) Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (4). Получим
Разрешающий элемент равен (0.25). Получим
Разрешающий элемент равен (-1). . Получим
X1 = 89
X2 = 112
X4 = 12
Решение
Очевидно, что эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы тримерные.
Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы.
Задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-11). Умножим 3-ую строку на (5). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 3-ую строку на (-65). Умножим 4-ую строку на (11). Добавим 4-ую строку к 3-ой:
Умножим 1-ую строку на (-114). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (136). Умножим 3-ую строку на (57). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (-22). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Следовательно, данная система векторов линейно зависима.
Решение
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: 
линейно независимы.
Тогда 
.
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля. 
Посчитаем определитель:
∆ = 7 • (0 • 4-(-3) • (-8))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 0)+0 • ((-4) • (-8)-0 • 0) = -248 
Найдём координаты вектора 
В базисе 
, 
, 
: 
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
2 |
-4 |
0 |
|
-5 |
0 |
-8 |
|
4 |
-3 |
4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (0 • 4-(-3) • (-8))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 0)+4 • ((-4) • (-8)-0 • 0) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
7 |
2 |
0 |
|
-5 |
-5 |
-8 |
|
0 |
4 |
4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • ((-5) • 4-4 • (-8))-(-5) • (2 • 4-4 • 0)+0 • (2 • (-8)-(-5) • 0) = 124
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
|
7 |
-4 |
2 |
|
-5 |
0 |
-5 |
|
0 |
-3 |
4 |
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • (0 • 4-(-3) • (-5))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 2)+0 • ((-4) • (-5)-0 • 2) = -155
Выпишем отдельно найденные переменные Х 
Итого, координаты вектора В базисе , , : { 0, 
, 
}.
Ответ: { 0, , }.
Решение
Исходная матрица имеет вид:
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1 - λ)x1 + 2x2-1x3 = 0
3x1 + (4 - λ)x2 + 3x3 = 0
5x1 + 6x2 + (-5 - λ)x3 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
(1 - λ) • ((4 - λ) • (-5 - λ)-6 • 3)-3 • (2 • (-5 - λ)-6 • (-1))+5 • (2 • 3-(4 - λ) • (-1)) = 0
После преобразований, получаем:
-λ3+40•λ+24 = 0
λ1 = -6
Подставляя λ1 = -6 в систему, имеем: или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений
Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-5). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 32x2 = 12x3
5x1 + 6x2 = - x3
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:
X2 = - 3/8x3
X1 = 1/4x3
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = -6, имеет вид:
Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:
λ2 = 
Подставляя λ2 = В систему, имеем: 
Решая данную систему получим собственный вектор
λ3 = 
Подставляя λ3 = В систему, имеем:
Решая данную систему получим собственный вектор
Решение
А) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой: или или y = 15x -9 или y -15x +9 = 0
Б) Уравнение высоты через вершину B
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой
Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину B: , y = -1/15x + 10/3 или
15y +x -50 = 0
В) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(0;-9) и прямой BC (4y + 3x - 27 = 0)
,
Г) Найдем биссектрису угла B. Точку пересечения биссектрисы со стороной AC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: 5y -12x +45 = 0, уравнение BC: 4y + 3x - 27 = 0
∟ B ≈ 104.250 или 1,82 рад
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NBK ≈ 52.10
Тангенс угла наклона AB равен 12/5 (т. к. y = 12/5x -9). Угол наклона равен 67.380
∟ NKB≈ 1800 - 67.380 = 112.620
∟ BNK ≈ 1800 - (112.620 + 52.130) ≈ 15.260
Tg(15.30) = 0.3
Биссектриса проходит через точку B(5,3), используя формулу, имеем:
Y - y0 = k(x - x0)
Y - 3 = 0.3(x - 5) или y = 0.3x + 1.6
Решение
Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-3; Y = 0-1; Z = -1-2
A1A2(2;-1;-3)
A1A3(-3;2;4)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
Б) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(2;-1;-3) и A1A3(-3;2;4):
, γ = arccos(0.993) = 173.0230
В) Площадь грани
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
i((-1) • 4-2 • (-3)) - j(2 • 4-(-3) • (-3)) + k(2 • 2-(-3) • (-1)) = 2i + j + k
Г) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(3,7,10)
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдём уравнение плоскости A1A2A3.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-3)((-1) • 4-2 • (-3)) - (y-1)(2 • 4-(-3) • (-3)) + (z-2)(2 • 2-(-3) • (-1)) = 2x + y + z-9 = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + y + z-9 = 0
Тогда:
,
Д) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(3,7,10)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + y + z-9 = 0
,
Е) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
Находим Определитель матрицы
∆ = 2 • (2 • 8-6 • 4)-(-3) • ((-1) • 8-6 • (-3))+0 • ((-1) • 4-2 • (-3)) = 14
Решение
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости ABC:
(x-2)((-5) • 5-(-1) • 6) - (y-0)(0 • 5-1 • 6) + (z+3)(0 • (-1)-1 • (-5)) = -19x + 6y + 5z + 53 = 0
-19x + 6y + 5z + 53 = 0
Ответ: -19x + 6y + 5z + 53 = 0
Решение
Пусть точка М(x;y) принадлежит искомой прямой. Расстояние между точками О и М равно:
.
Расстояние от точки М до прямой х+6=0 равно d=х-(-6)=х+6.
По условию задачи d=ОМ. Подставляя, получаем: 
Возводим в квадрат и упрощаем:
Данная кривая – парабола.
Ответ: 
Решение
Уравнение параболы, симметричной относительно оси OY, с вершиной в начале координат имеет вид: x2=2py, где р – параметр параболы
Поставляя координаты точки А (х=4, y=8), в данное уравнение, определяем параметр р:
42=2p8
16=16р
Р=1
Следовательно, уравнение параболы будет иметь вид: x2=2y.
Ответ: x2=2y
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|