Контрольная работа по мат. анализу 08

А=4

Задача 1. Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого условия сходимости

Решение:

По необходимому условию сходимости общий член ряда должен стремиться к 0. Имеем:

Следовательно, данный ряд расходится.

Задача 2. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера:

А) ; б) .

Решение:

А) . Тогда ряд сходится

Б) . Тогда ряд сходится

Задача 3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения

А) б)

Решение:

А) Сравним данный ряд с рядом :

Ряд является обобщенным гармоническим рядом , тогда он сходится. По признаку сравнения в предельной форме исходный ряд также сходится.

Б) Сравним данный ряд с рядом :

Ряд является обобщенным гармоническим рядом , тогда он расходится. По признаку сравнения в предельной форме исходный ряд также сходится.

Задача 4. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость:

А) ; б)

Решение:

А) То, что абсолютной сходимости нет, было показано в задаче 3 (б). Условная сходимость выполняется по признаку Лейбница: последовательность монотонно убывает к 0.

Б) Исследуем на абсолютную сходимость по признаку Даламбера:

Итак, данный ряд сходится абсолютно.

Задача 5. Найти радиус и область сходимости степенного ряда:

Решение:

Радиус сходимости:

Итак, ряд сходится при . Исследуем сходимость на концах интервала:

– сходится по признаку Лейбница;

– расходится (показано в задаче 3(б)).

Итак, ряд сходится при .

Задача 6. Разложить в ряд Маклорена функцию , используя стандартные разложения функций в степенной ряд:

А) ; б) ; в) .

Решение:

А) ;

Б)

В) , тогда

Задача 7. Вычислить приближенно с точностью , используя разложение функции В степенной ряд.

Решение:

Известно разложение:

Задача 8. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью

Решение:

Известно разложение:

Задача 9. Разложить в ряд Фурье -периодическую функцию

Решение:

Разложение в ряд Фурье -периодической функции имеет вид:

Итак,

Задача 10. Разложить в ряд Фурье по синусам с периодом функцию , заданную на .

Решение:

Так как функцию нужно разложить по синусам, то предполагаем ее продление на интервале нечетным образом. Тогда

Итак,

Задача 11. Разложить в ряд Фурье по косинусам с с периодом функцию , заданную на .

Решение:

Так как функцию нужно разложить по косинусам, то предполагаем ее продление на интервале четным образом. Тогда

Итак,

Задача 12. Найти , если .

Решение:

Задача 13. Найти модуль и аргумент комплексного числа и записать в тригонометрической и показательной формах.

Решение:

Тогда тригонометрическая форма:

Экспоненциальная форма:

Задача 14. Для функции найти ее действительную и мнимую части и проверить на аналитичность:

а) ; б) .

Решение:

А) Пусть

Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:

Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая.

Б) Пусть

Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:

Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая.

Задача 15. А) Вычислить вычеты функции в ее изолированных особых точках. б) С помощью вычетов вычислить интеграл (обход контура против часовой стрелки):