Контрольная работа по мат. анализу 07 |
А=21 Задача 1. Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого условия сходимости
По необходимому условию сходимости общий член ряда должен стремиться к 0. Имеем:
Следовательно, данный ряд расходится. Задача 2. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера: А) А) Б) Задача 3. Исследовать ряд на сходимость с помощью признаков сравнения А) Решение: А) Сравним данный ряд с рядом
Ряд Б) Сравним данный ряд с рядом
Ряд Задача 4. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость: А) Решение: А) То, что абсолютной сходимости нет, было показано в задаче 3 (б). Условная сходимость выполняется по признаку Лейбница: последовательность Б) Исследуем на абсолютную сходимость по признаку Даламбера:
Итак, данный ряд сходится абсолютно. Задача 5. Найти радиус и область сходимости степенного ряда:
Решение: Радиус сходимости:
Итак, ряд сходится при
Итак, ряд сходится при Задача 6. Разложить в ряд Маклорена функцию А) Решение: А) Б) В) Задача 7. Вычислить приближенно Решение: Известно разложение: Задача 8. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью
Решение: Известно разложение: Задача 9. Разложить в ряд Фурье Решение: Разложение в ряд Фурье Итак,
Задача 10. Разложить в ряд Фурье по синусам с периодом Решение: Так как функцию нужно разложить по синусам, то предполагаем ее продление на интервале Итак,
Задача 11. Разложить в ряд Фурье по косинусам с с периодом Решение: Так как функцию нужно разложить по косинусам, то предполагаем ее продление на интервале Итак,
Задача 12. Найти Решение: Задача 13. Найти модуль и аргумент комплексного числа Решение: Тогда тригонометрическая форма:
Экспоненциальная форма:
Задача 14. Для функции а) Решение: А) Пусть Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:
Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая. Б) Пусть Функция аналитическая, если выполняются условия Коши-Римана:
Итак, условия Коши-Римана выполнены, тогда данная функция аналитическая. Задача 15. А) Вычислить вычеты функции
Где Решение: А) Особыми точками данной функции будут точки Вторая точка будет простым полюсом: Вычислим вычеты в найденных точках: Б) В круг
Задача 16. Найти изображение функции А) Решение: Согласно таблицы преобразований Лапласа: Тогда в силу линейности преобразования Лапласа: А) Б) Задача 17. Решить задачи Коши с помощью преобразования Лапласа: А) Решение: А) Итак, решением задачи Коши будет функция Б) Итак, решением задачи Коши будет функция
|