Контрольная работа по мат. анализу 04
Решить неопределённые интегралы:
2. 3.
4.
5.
Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:
Тогда
6.
7.
8.
Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:
Получим
9.
10.
Вычислить площадь области, ограниченной заданными кривыми
Изобразим данную область на графике:
Так как на данном промежутке графики x=arccos(y) и y = cos(x) совпадают, то по формуле получим
Ответ: (кв. ед)
Вычислить длину дуги кривой
По формуле . В нашем случае
Тогда
Ответ:
Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение
Изобразим данное тело
Решение
- однополостной гиперболоид.
При пересечении его плоскостями Z = H в сечении получаем эллипсы с полуосями.
Как известно, площадь эллипса
В нашем случае ,
куб. ед.
Ответ: куб. ед.
Криволинейная трапеция ограничена заданными линиями, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить объём полученного тела вращения
Решение
Изобразим данную криволинейную трапецию:
По формуле .
Получим куб. ед.
Ответ: куб. ед.
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Решить задачу Коши ,
Решение
Приведём уравнение к виду
Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие , тогда .
Тогда окончательно
Ответ:
Решить уравнение Бернулли
Решение
Приведём уравнение к виду
Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение
Данное уравнение не содержит у, следовательно, делаем замену , .
Получим - линейное дифференциальное уравнение.
Решим его методом Бернулли. Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
. Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции р, получим
Обратная подстановка
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|