Контрольная работа по мат. анализу 38 |
Задача 2 Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной линиями. Сделать чертеж. Уравнения линий Сделаем чертёж Считаем плотность однородной пластины Формулы, получаем: Тогда Ответ: Задача 4 Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж. Изобразим данное тело Проекция тела на плоскость хОу: По формуле Задача 5 Требуется: 1) найти поток векторного поля 2) вычислить циркуляцию векторного поля 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Гаусса и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью 5) сделать чертеж поверхности
Решение Сделаем чертёж данной поверхности Поток векторного поля Поверхность
Тогда Проверим правильность вычисленных значений потока с помощью формулы Гаусса Т. к. div a = 4, то внутри области имеются источники, плотность которых если принять ее непрерывной, равна 4 Найдём циркуляцию Пересечением указанных поверхностей является окружность
Причем параметр
Что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением. Задача 6 Исследовать сходимость числовых рядов Общий член ряда Решение А)
Так как ряд Б)
Так как ряд В) Следовательно, по признаку Коши ряд сходится. Г) Используем первый признак сравнения Так как ряд По признаку Лейбница данный ряд сходится условно, так как общий член ряда монотонно убывает и стремится к 0. Следовательно, данный ряд сходится условно Задача №8 Вычислить определенный интеграл Функция F(X), B: Решение Воспользуемся разложением функции
Тогда Имеем Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
|