Контрольная работа по мат. анализу 38

Задача 2

Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

Уравнения линий

Решение

Сделаем чертёж

Считаем плотность однородной пластины  Тогда ее статические моменты относительно осей ОХ и ОУ определяются формулами: , а координаты ее центра тяжести  определяются формулами: , где  - масса однородной пластины D с плотностью   Применяя эти

Формулы, получаем:

Тогда ,

Ответ: ,

Задача 4

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

Сделать чертеж.

Решение

Изобразим данное тело

Проекция тела на плоскость хОу:

По формуле . Тогда Ответ:

Задача 5

Требуется:

1)  найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (выбирается внешняя нормаль к );

2)  вычислить циркуляцию векторного поля по контуру L, образованному пересечением поверхностей и (направление обхода выбирается так, чтобы область, ограниченная контуром L находилась слева);

3)  проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Гаусса и Стокса;

4)  дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью ;

5)  сделать чертеж поверхности .

Решение

Сделаем чертёж данной поверхности

Поток векторного поля через замкнутую поверхность (выбирается внешняя нормаль к );

Поверхность состоит из двух поверхностей: — части плоско­сти и — части конуса . Поэтому поток через равен сумме потоков вектора через составляющие поверхности:

Где и — внешние нормали к конусу и плоскости соответственно.

,

так как на поверхности имеем .

Тогда

Проверим правильность вычисленных значений потока с помощью формулы Гаусса

Т. к. div a = 4, то внутри области имеются источники, плотность которых если принять ее непрерывной, равна 4

Найдём циркуляцию

Пересечением указанных поверхностей является окружность . Направление обхода контура выбирается обычно так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура :

Причем параметр изменяется от до .

Применим теперь формулу Стокса. В качестве поверхности , Натянутой на контур , можно взять часть плоскости . Направление нормали к этой поверхности согласуется с направлением обхода контура . Ротор данного векторного поля

Поэтому искомая цир­куляция

Что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычисле­нием.

Задача 6

Исследовать сходимость числовых рядов .

Общий член ряда а) ; б) ; в) ; г)

Решение

А) Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как гармонический. Следовательно, данный ряд расходится.

Б) ; При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится - используем 2й признак сравнения:

,

Так как ряд сходится как обобщенный гармонический - следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится, а значит сходится и ряд .

В) . Воспользуемся радикальным признаком Коши: ,

Следовательно, по признаку Коши ряд сходится.

Г) . Исследуем ряд на абсолютную сходимость: ;

Используем первый признак сравнения .

Так как ряд расходится как гармонический ряд, то ряд не сходится абсолютно.

По признаку Лейбница данный ряд сходится условно, так как общий член ряда монотонно убывает и стремится к 0.

Следовательно, данный ряд сходится условно

Задача №8

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования полученного ряда.

Функция F(X), B: ; 1

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

,

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд Лейбница, последнее выписанное слагаемое меньше чем 0.001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью