Контрольная работа по мат. анализу 34
Задание 1.
Исследовать ряд на сходимость (в случае знакопеременного ряда на условную или абсолютную сходимость):
1) В общем члене ряда есть 3n, значит нужно использовать признак Даламбера.
Имеем 
, 
. Вычисляем предел
Тогда по признаку Даламбера данный ряд сходится.
2. В общем члене ряда есть 2n, значит нужно использовать признак Даламбера.
Имеем 
, 
.
Вычисляем предел
Тогда по признаку Даламбера данный ряд расходится.
3) В общий член ряда входит множитель 
, а значит, нужно использовать признак Лейбница.
1) Проверка ряда на знакочередование:
данный ряд знакочередующийся.
2) 
члены ряда убывают по модулю.
Выявим характер сходимости с помощью второго признака сравнения:
В качестве ряда для сравнения выбираем сходящийся ряд 
, т. к. 
, то данный ряд как и сравниваемый сходится.
Следовательно данный ряд сходится абсолютно.
Задание 2.
Решить задачу Коши с начальными условиями Y(1) = 0.
Получили уравнение с разделяющими переменными.
Тогда общее решение запишется
.
Подставим начальные данные и найдем частное решение:
. Подставим значение.
Частное решение будет: 
или 
Ответ: или
Задание 3.
Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Определить вероятность того, что:
А) оба студента правильно ответят на вопрос;
Б) хотя бы один ответит верно;
В) правильно ответит только первый студент.
Решение
А) Событие А – оба студента правильно ответят на вопрос.
Найдем вероятности. Вероятность, что первый ответит равна: : 
, вероятность, что второй ответит равна: : 
.
Тогда вероятность события А равна, произведению двух несовместных событий:
Б) Событие В – хотя бы один ответит верно. Означает, первый студент ответит, а второй нет или первый не ответит, а второй ответит.
Вероятность, что первый не ответит равна: : 
, вероятность, что второй не ответит равна: : 
.
Тогда вероятность события В найдем из противоположного события:
В) Пусть событие С - правильно ответит только первый студент.
Тогда вероятность события В равна, произведению двух несовместных событий: 
Ответ: 
; 
Задание 4.
Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
Решение
А = { анкета содержит негативную реакцию };
Н1 = { заполняла женщина};
Н2 = {заполнял мужчина};
Всего 15+5=20 человек, тогда вероятности гипотез равны:
Пусть А – случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Это событие наступит одновременно с наступлением одного из двух гипотез. Условные вероятности равны:
По формуле полной вероятности:
Найти вероятность того, что анкету заполнял мужчина. Необходимо переоценить вероятности используя формулу Байеса:
Ответ: 
; 
Задание 5.
Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величины Х, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения (М(Х), D(Х), 
(Х)). Запишите функцию распределения и постройте ее график. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.
Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина Х – количество потребующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек?
Решение
Вероятность, что держатель старше 50 лет потребует возмещения равна 
соответственно вероятность, что не потребует возмещения (противоположное событие): 
Найдем соответствующие вероятности, воспользовавшись формулой Бернулли:
, ни один из пяти держателей не потребовал возмещения.
, один из пяти потребовал возмещения.
, два из пяти не потребовали возмещения.
, три из пяти не потребовали возмещения.
, четыре из пяти не потребовали возмещения.
, все пять из пяти держателей не потребовали возмещения.
Составим таблицу.
Проверим вероятности по условию:
Построим многоугольник распределения.
Математическое ожидание для случайной величины находится по формуле:
Дисперсия находится по формуле:
Запишем функцию распределения:
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
Изобразим график F(X).
Вероятность того, что потребуют возмещения более трех человек равна:
Ответ: 
Задание 6.
Найти область сходимости степенного ряд
Решение
Обозначим 
Применим признак Даламбера:
;
интервал сходимости.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка в точках х = 1, х = 3.
При х= 1 получаем гармонический ряд
. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
.
При х= 3 
. Применим признак сходимости знакочередующегося ряда. Составим ряд из модулей членов ряда:
. Ряд 
является расходящимся рядом, так как б=1.
Таким образом, на промежутке 
заданный ряд сходится условно, радиус сходимости 
Задание 7.
Показать, что дифференциальное уравнение является однородным, решить его
Решение
Подставим вместо 
Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Делаем замену 
Разделим на 
и подставим замену
Разделяем переменные и интегрируем:
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей и найдем неизвестные коэффициенты:
, тогда
Выполняем обратную замену: 
умножим все на 
, 
.
Следовательно общий интеграл равен 
Ответ:
Задание 8.
Решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
Решение
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ищем в виде 
, где 
- общее решение уравнения, 
- частное решение уравнения
Составим характеристическое уравнение:
;
Так как корни действительны и неравны, то общее решение будет следующим:
Частное решение для данного уравнение будет состоять из двух функций:
Найдем производные
Подставим в уравнение 
сначала одно частное уравнение, а затем второе.
Тогда частное решение будет иметь вид:
Теперь подставим вторую частную формулу.
Тогда частное решение будет иметь вид:
Общее решение данного уравнения:
Ответ:
Задание 9.
По данным таблицы
А) составить интервальный вариационный ряд с равными интервалами;
Б) найти частоты и частости;
В) ряд распределения изобразить графически;
Г) определить моду, медиану, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, сделать выводы по результатам расчетов.
1. Проведем ранжирование вариантов ряда 
:
Разобьем варианты на отдельные интервалы, т. е. проведем их группировку. Величину интервала найдем по формуле:
.
K = (14208 – 1736) / 10 = 1247.2 (разбиваем на K = 10 интервалов).
Сгруппированный ряд представим в виде таблицы.
Выполним построение гистограммы.
Кумуляту построим по накопленным частостям
2. Моду и медиану найдем графически. Проведем горизонтальную линию накопленной частости 
, до пересечения с кумулятой, абсцисса точки пересечения и будет медианной ряда: 
На гистограмме берем прямоугольник с наибольшей частотой. соединяем отрезками прямых вершины этого прямоугольник с соответствующими вершинами двух соседних прямоугольников, получим точку пересечения этих отрезков, абсцисса которой и будет модой: 
Найдем среднее значение, в качестве 
берем середины соответствующих интервалов:
.
Найдем выборочную дисперсию:
.
Найдем среднее квадратичное отклонение: 
.
Найдем коэффициент вариации: 
. 
.
Коэффициент вариации приближается к 50%, это свидетельствует о неоднородности значений признака. Так как в статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
