Контрольная работа по мат. анализу 32
1. Найти пределы функции.
1) 
при A) 
, B) 
, C) 
;
2) 
3) 
;
1) 
2) 
3) 
;
Использовали 
при 
2. Найти производные заданных функций.
А) 
; Б) 
В) 
Г) 
.
А) 
;
Б) 
В) 
Г) 
.
3. Вычислить приближенное значение 
, заменив в точке 
приращение функции 
дифференциалом 
Решение
Требуется вычислить значение функции одной переменной 
при Х = 605.
Пусть 
.
Применим формулу 
Тогда 
4.Исследовать функцию 
и построить ее график 
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: 
Область определения: 
Найдём первую производную:
==
=
=
=
Первая производная: 
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, 
,
, 
;
Критические точки: 
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
=
=
=
=
=
=
=
Вторая производная:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
- нет решений.
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. 
, 
, 
, 
;
Точки пересечения с осью : 
Точки пересечения с осью : 
Пусть, 
Вертикальные асимптоты: х=-3
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль х+3=0, х=-3
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: 
.
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. 
=
=
Предел разности исходной функции и функции 4х-24 на бесконечности равен нулю.
Точки разрыва: х=-3
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум 
.
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум 
.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
5.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием А) 
; Б) 
;
Решение
А) 
;
Проверка 
- верно
Б) 
;
Проверка
верно
6.Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл 
. 
Решение
7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
. Сделать чертеж. 
Решение
Изобразим область, площадь которой нужно найти:
- парабола, ветви вниз, центр т. (-3,4)
- прямая
По формуле 
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий:
Тогда, в нашем случае 
, 
, 
, получим
Ответ: 
(кв. ед.)
8. Даны вершины 
треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС. А (1;6), В (7;4), С (4;5)
Решение
1) длину стороны AB;
Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi ,
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 , X = 7-1 = 6; Y = 4-6 = -2 , AB(6;-2)
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:
2) внутренний угол A;
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами AB(6;-2) и AC(3;-1)
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
5) площадь треугольника АВС.
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: 
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем: 
9.Решить систему линейных уравнений матричным способом 
Решение
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: 
Вектор B: BT=(6,9,10)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель. ∆=1•(1•2-5•4)-4•(2•2-5•3)+3•(2•4-1•3)=41
Итак, определитель 41 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А: 
Тогда: 
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: 
Вычисляем алгебраические дополнения.
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу: 
Вычислим обратную матрицу: 
Вектор результатов X X=A-1 • B
, 
,
, XT=(1,1,1)
X1=41 / 41=1 , x2=41 / 41=1 , x3=41 / 41=1
Ответ: x1=1 , x2=1 , x3=1
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
