logo

Решение контрольных по математике!!!

Home

Контрольная работа по мат. анализу 32

1. Найти пределы функции.

1) при A) , B) , C) ;

2) 3) ;

Решение

1)

2)

3) ;

Использовали при

2. Найти производные заданных функций.

А) ; Б) В) Г) .

Решение

А) ;

Б)

В)

Г) .

3. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом

Решение

Требуется вычислить значение функции одной переменной при Х = 605.

Пусть .

Применим формулу

Тогда

4.Исследовать функцию и построить ее график

Решение

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Найдём первую производную:

===

==

Первая производная:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

, ,

,

;

Критические точки:

Найдём вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

==

===

==

Вторая производная:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

- нет решений.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , ,

, ;

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :

Пусть,

Вертикальные асимптоты: х=-3

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль х+3=0, х=-3

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты: .

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. ==

Предел разности исходной функции и функции 4х-24 на бесконечности равен нулю.

Точки разрыва: х=-3

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

5.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием А) ; Б) ;

Решение

А) ;

Проверка - верно

Б) ;

Проверка

верно

6.Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

Решение

7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

Решение

Изобразим область, площадь которой нужно найти:

- парабола, ветви вниз, центр т. (-3,4)

- прямая

По формуле

Найдём абсциссы точек пересечения данных линий:

Тогда, в нашем случае , , , получим

Ответ: (кв. ед.)

8. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС. А (1;6), В (7;4), С (4;5)

Решение

1) длину стороны AB;

Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi ,

Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 , X = 7-1 = 6; Y = 4-6 = -2 , AB(6;-2)

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

2) внутренний угол A;

Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между векторами AB(6;-2) и AC(3;-1)

3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;

Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

5) площадь треугольника АВС.

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

9.Решить систему линейных уравнений матричным способом

Решение

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B: BT=(6,9,10)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель. ∆=1•(1•2-5•4)-4•(2•2-5•3)+3•(2•4-1•3)=41

Итак, определитель 41 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X X=A-1 • B

, ,, XT=(1,1,1)

X1=41 / 41=1 , x2=41 / 41=1 , x3=41 / 41=1

Ответ: x1=1 , x2=1 , x3=1

 
Яндекс.Метрика
Наверх